置換積分

質問

tan(x/2)=uとして、
(1)I=∫1/(2+cosx) dx
(2)I=∫1/(3sinx+4cosx+5) dx

という問題がありまして・・・・
教えていただけませんか？
または置換積分を説明しているページでもいいので・・・・

回答No.1

heero01 · ベストアンサー

定番の問題です。式の中に三角関数が出てきたらtan(x/2)=uとおきましょう。こうすることにより必ず多項式の分数式の形になります。

tan(x/2) = uとおくとtan^2(x/2) = u^2

tan^2(x/2)＝（sin^2(x/2)/cos^2(x/2)）

ここで半角の公式を持ってきます。

sin^2(x/2) ＝ (1-cosｘ) / 2　cos^2(x/2) ＝ (1+cosｘ) / 2

これより

tan^2(x/2) ＝ (1-cosｘ) / (1+cosｘ)。よって

u^2 = (1-cosｘ) / (1+cosｘ)　⇔　cosｘ ＝（1-u^2）/（1+u^2）・・・☆

一方、tanx＝tan（x/2+x/2）＝2tanx/(1-tan^2(x/2)）＝2u/(1-u^2)・・・★

tanx＝sinx/cosx⇔sinx＝tanx・cosx

これに★と☆を代入してsinx＝2u/(1+u^2)

またtan(x/2)=uよりArctanｕ=x/2⇒2Arctan u =x

dx/du＝2/(1+u^2)⇒dx=2/(1+u^2)du

これを問題の式に代入するとI＝2∫/（u^2+3）となります。

そしてもう1回u=√3ｔと置換してやると上の式が(2√3/3）∫1/(1+t^2）となりま

す。これを積分すると(2√3/3）arctan t （ｔ＝1/√3・tan(x/2)）。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

i536

u=tan(x/2)とすると、
角度x/2の直角三角形で、辺の長さ 1, u, √(1+u^2) を描いて sin(x/2),cos(x/2)を求め、
さらに三角関数の倍角の公式をもちいれば、下記(1)(2)(3)が成立します。

sin x = 2u/(1+u^2) ---(1)
cos x = (1-u^2)/(1+u^2) ---(2)
dx = (2/(1+u^2))*du---(3)

あとは、代入して解くだけです。

(1)
∫1/(2+cosx) dx
=∫(1/(2+(1-u^2)/(1+u^2) ))*(2/(1+u^2))*du
=2∫(1/(3+u^2))du
=(2/√3)*arctan (u/√3) + c
=(2/√3)*arctan(tan(x/2)/√3) + c

(2)
∫1/(3sinx+4cosx+5) dx
=∫(1/(3*(2u/(1+u^2))+4((1-u^2)/(1+u^2)) +5))*(2/(1+u^2))*du
=2∫(1/(u+3)^2)*du
=-(2/(u+3))+c
=-2/(3+tan(x/2))+c

お礼

回答ありがとうございました。