数III 定積分の問題

質問

以下の定積分の問題が上手く問けません。

∫{0→π/2}√(1＋sinx)dx

というものなのですが、
1＋sinx=tとおいて置換積分をすると
dx=dt/cosx
となって、tとxが一緒に出てきてしまいってどうしたら良いか分からず、sinx=tとおいても同じような結果になってしまいました。
π/2－x=tとおいてもsinがcosに入れ替わっただけになってしまい、煮詰まってしまいました。

ヒントや考え方の指針でも良いので教えて頂けると嬉しいです。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

√(1 + sinx)
= { √(1 + sinx) } / 1
= { √(1 + sinx) }{ √(1 - sinx) } / { √(1 - sinx) }　（{ √(1 - sinx) }で通分）
= { √(1 - sin^2x) } / { √(1 - sinx) }
= { √(cos^2x) } / { √(1 - sinx) }
= | cosx | / { √(1 - sinx) }

0 ≦ x ≦ π/2のとき、0 ≦ cosxなので|cosx| = cosx

∴| cosx | / { √(1 - sinx)} = cosx / { √(1 - sinx)　}

つまり√(1 + sinx) = cosx / { √(1 - sinx)　}　(0 ≦ x ≦ π/2)
1 - sinx = tとおけば、置換積分ができると思います。

お礼

早速の回答ありがとうございます!
1 - sinx = tとおくことには気づきませんでした。ここまでくれば解けます!!まだまだ勉強が足りませんでした。頑張ります。

回答No.2

take_5

1＋sinx＝{cos（x/2）＋sin（x/2）}＾2。。。。。終り。。。。笑

お礼

こういう変形の仕方もあるんですね!気が付きませんでした。
回答ありがとうございます。

補足

どちらの意見も参考になったのですが、早い順にありがとうポイントを付けたいと思います。ありがとうございました。