積分 証明 問題

質問

積分　証明　問題

∫[0～π]（x・sinx）dxを求めよ。

I=∫[0～π]（x・sinx）dxとおく。
x=π-tとおくと、dx/dt=-1、積分範囲はπ～0
I=∫[π～0]（π-t）・sin（π-t）（-dt）
=∫[0～π]（π-t）・sin（π-t）dt
=∫[0～π]（π-t）・(sint)dt

2I=∫[0～π]（x・sinx）dx+∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt
　=∫[0～π]πsinxdx
　=2π
I=π

一点分からない点があります。
∫[0～π]（π-t）・(sint)dt=∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt
について。単純にtをxに置き換えただけだと思いますが、
x=π-tと置換しているのに、t=xと同じ変数を使って再度
置換して良いのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

> ∫[0～π]（π-t）・(sint)dt=∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt

正：∫[0～π]（π-t）・(sint)dt=∫[0～π]（π-x）・(sinx)dx
右辺の積分変数はxなので　　dt　では無く dx ですね。

#１さんが言われている通りです。

なお、積分の外で変数が使われている場合にはその変数を積分変数として使ってはいけません。
定積分での積分変数は積分後無くなりますので積分の中だけでの仮変数(積分の外には影響しない変数)ですから、積分の外で使っている変数以外であれは、積分変数にどんな変数を使っても問題ありません。
積分の外の変数は積分の中まで影響を与えますので、積分の外の変数を積分変数に使ってはいけませんね。

補足

ご回答ありがとうございます。
積分の外の変数とは、例えばa∫sinxdxで言うところの、aに相当するという認識でよろしいでしょうか？

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足の質問の回答

>積分の外の変数とは、例えばa∫sinxdxで言うところの、aに相当するという認識でよろしいでしょうか？

例が良くないですね。

f(x,y)=x+2y+∫[1,y+2] (x+z)/sin(z) dz　…(☆)
のような場合、積分の外の変数はx,yで積分変数がzです。積分変数zの代わりにxやyを使えないということです。x,y以外の文字変数ならzの代わりに使えます。積分範囲の上限や下限や被積分関数の中に、積分の外の変数が入っていても構いませんが、積分変数は積分の外に出られません（出せません）。(☆)の式の積分の中の被積分関数の中に積分の外の変数xが含まれています。zの代わりにxを使うと積分変数と積分の外の変数の区別ができなくなるので同じ変数は積分変数としては使えません。
ということです。
お分かりになりましたか？

お礼

理解出来ました。
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

Tacosan

まったく問題ありません.
「x=π-tと置換し」たときの x と「t=xと置換」したときの x とは (たまたま同じ名前だけど) まったく別のものであって関係はありません.

お礼

間違って補足に記載してしまいました。
ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。