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積分の問題

積分でわからない問題があります. (1)∫1/(a-sin x)dx (a>1) (2)∫[0,1](arcsin x)/√(1-x) dx (1)はsinx=tなどと置換してみましたが,複雑な式が出てくるばかりで解答の糸口が見えませんでした. (2)は部分積分によって出てきた項(1/{(1-x)√(1+x)})が積分できません.また,積分後もどのように解いていけばよいのかが不明です. アドバイスをお願いします.

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  • kkkk2222
  • ベストアンサー率42% (187/437)
回答No.2

t=tan(x/2) dt=(1/2)(1+(t^2))dx dx=(2dt/(1+(t^2))) sinx=(2dt/(1+(t^2))) P=∫(1/(a-sinx))dx =∫(1/(a-(2t/(1+(t^2)))))(2dt/(1+(t^2))) =∫(2dt/((a(1+(t^2))-2t) =2∫dt/[a((t-(1/a))^2)+(((a^2)-1)/a)] =(2/a)∫dt/[((t-(1/a))^2)+(((a^2)-1)/(a^2))]   ((√((a^2)-1)/a)tanT)=(t-(1/a))   tanT=[((t-(1/a))/(√((a^2)-1)/a))]   dT[(√((a^2)-1)/a)(1+((tanT)^2))]=dt =(2/a)∫dT[(√((a^2)-1)/a)(1+((tanT)^2))]/[(((√((a^2)-1)/a)tanT))^2)+(((a^2)-1)/(a^2))] =(2/√((a^2)-1)∫dT =(2/√((a^2)-1)arctan[((t-(1/a))/(√((a^2)-1)/a))] =(2/√((a^2)-1)arctan[((tan(x/2)-(1/a))/(√((a^2)-1)/a))] ------------------------ P=∫((arcsinx)/√(1-x)) dx =(arcsinx)(-2)√(1-x)+2∫(√(1-x))(1/ √(1-(x^2)))dx =(arcsinx)(-2)√(1-x)+2∫(1/ √(1+x))dx =(arcsinx)(-2)√(1-x)+4√(1+x) (arcsinx)(-2)√(1-x)+4√(1+x) [0,1] =(0+4√2)-(0+4)=4(√2)-4 ----------------------

eibu
質問者

お礼

詳解をありがとうございます. (2)は難しく考えすぎていたようです.

その他の回答 (1)

  • imopro
  • ベストアンサー率35% (58/163)
回答No.1

(1)のみですが. 三角関数が出てきた場合の定石は,t=tan(x/2)と置くことです(高校の参考書や大学の教科書・参考書には載っているはずです). この場合,sinx=2t/(1+t^2),dx={2/(1+t^2)}dxとなります. これを用いると,元の積分(Iとします)は, I=2/(at^2-2t+a) dt となります. あとは,分母を平方完成してやると,もう一回置換をする事になります.色々計算すると,恐らくIは以下のようになると思います. I=-2/{√(a^2-1)}*Arctan[{1-atan(x/2)}/{√(a^2-1)}]

eibu
質問者

お礼

t=tan(x/2)の置換,すっかり忘れていました. とても参考になり解決しました.ありがとうございました.

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