Arcsin(x) = -Arccos(x)とは？
- Arcsin(x) = -Arccos(x)という数式について解説します。
- 積分で∫1 / sqrt(a^2 - x^2) dx(a>0)の原始関数を求める方法について説明します。
- x = a * sin(t)と置いた場合とx = a * cos(t)と置いた場合の置換積分による解法を比較します。
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Arcsin(x) = -Arccos(x)??
sqrtはルートです。 積分で ∫1 / sqrt(a^2 - x^2) dx (a>0) の原始関数を求める。 このとき i） x = a * sin(t)と置いて置換積分 dx/dt = a * cos(t) dx = a * cos(t) dt 与式＝∫1 / sqrt(a^2 - a^2 * sin^2(t)) * a * cos(t) dt = ∫1 / sqrt( a^2( 1 - sin^2(t) ) ) * a * cos(t) dt = ∫1 / sqrt( a^2 * cos^2(t) ) * a * cos(t) dt = ∫1 / ( a * cos(t) ) * a * cos(t) dt = ∫1 dt = t x = a * sin(t)より x / a = sin(t) t = arcsin(x/a)となる 与式＝ arcsin(x/a) ii） x = a * cos(t)と置いてi）と同様に置換積分すると 与式＝ -arccos(x/a)となりました。 i）ii）どちらも正解なのでしょうか？ また、arcsin(x/a) = -arccos(x/a)と考えてもいいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- Yuki3814
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i）ii）どちらも、いまいち残念です。 どちらも、不定積分ですから、 積分定数がつかなくてはいけません。 また、被積分関数内の √ を処理するときに sin(t) や cos(t) の符号が問題になりますから、 i) 与式 = ±arcsin(x/a) + (定数) ii) 与式 = ±arccos(x/a) + (定数) が正解です。したがって、 arcsin(x/a) = -arccos(x/a) にはなりません。
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- alice_44
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今回は、真似をしそこなったようですが… A = sinθ = cosφ となる θ と φ の関係は、 θ + φ = π/2 だけとは限りません。 そんなに単純ではないんですよ。 arcsin(x/a) = -arccos(x/a) の修正バージョンを作るためには、 θ と φ の変域を確認しなくてはならない。 i) ii) の積分定数しだいということになります。
- info22_
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不定積分ですから 積分定数（任意定数）C をつけます。 i) > = t+C > = arcsin(x) +C ii） >与式= -arccos(x/a) +C 原始関数としては arcsin(x) でも -srccos(x/a) でも正解ですが、 不定積分としては定数の差は積分定数に吸収されて表に出ません。 > arcsin(x/a) = -arccos(x/a)と考えてもいいのでしょうか？ 駄目ですね。実は arcsin(x/a)=(π/2) -arccosh(x/a) （←公式です） です。 一般的には arcsin(A)+arccos(A)=π/2 という関係にあります（公式）。 この定数項「π/2」は不定積分では積分定数（任意の定数）に吸収されて表面に現れてこないだけです。
お礼
ありがとうございました。
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