いろいろな積分

質問

（１）∫cosx^3/(sinx^(1/2)dx
（２）∫x^2(2ax-x^2)^(1/2)dx
（３）∫(logx)^4/xdx
（４）∫(arcsinx)^4dx
（５）∫1/(a^2sinx+b^2cosx)dx
（６）∫(1-x^2)^ndx
これらの問題を解く上で、解説をして欲しいです。（１）については、すべてsinにすればいいのでしょうか？糸口が見えません。（２）は部分積分がいいでしょうか。(2ax-x^2)^(1/2)
これを積分？（３）(logx)^５を微分すると形が見えてきますね。（６）
は部分積分のにおいがしますが、どうしたらいいのやらと。それで分かるのだけでも協力いただけたら幸いです。結局（３）以外ほとんど駄目なのです。

回答No.3

nakaizu · ベストアンサー

(1)は既に解答があるので
(2)は部分積分してもうまくいきません。
x=a(1+sin t)
と置換すると三角関数だけの積分
a^4∫(1+sin t)^2(cos t)^2dt
になります
(4)はarcsin がなくなるまで部分積分をします。1が掛かっているものとして
x(arcsin x)^4-4∫x(arcsin x)^3/√(1-x^2)dx
となります。
x/√(1-x^2)は積分すると-√(1-x^2)になるのでこの後も部分積分を繰り返していくことができます。
(5)訂正した問題ではtan x=tとおくと
∫1/(a^2t^2+b^2)dt
となります。結果はarctan が二重になったものです。
(6)は級数の形にしかなりません。二項定理で展開してから積分するのが良いと思います。
部分積分で漸化式を作ることもできます。

回答No.2

HOGERA3

（６）について。

x = sinθ とおくと、dx = cosθ dθ　であるから

　　∫(1-x^2)^ndx
　＝∫(1-(sinθ)^2)^n・cosθ dθ
　＝∫(cosθ)^(2n+1) dθ
　＝∫(sinθ)'・(cosθ)^(2n) dθ
．．．
　＝○○∫(cosθ)^(2n+1) dθ + ◎◎

ってなって

∫(cosθ)^(2n+1) dθ = ◎◎/(1 - ○○)

みたいになるんじゃないでしょうか。
ちゃんと解いてないから自信はありませんけど。

回答No.1

noname#6715

cosx^3ですか・・・わかりませんな(おぃ)
(cosx)^3とかなら

(1)
(cosx)^3/(sinx)^(1/2)
=[{1-(sinx)^2}/(sinx)^(1/2)]cosx
={1/(sinx)^1/2}cosx-{(sinx)^2/(sinx)^(1/2)}cosx
={(sinx)^(-1/2)}cosx-{(sinx)^(3/2)}cosx
f(x)=sinxとすると
f'(x)=cosx
∫{(cosx)^3/(sinx)^(1/2)}dx
=∫x^(-1/2)dx-∫x^(3/2)dx
=[2x^(1/2)]-[2x^(5/2)/5]

後は計算すること

・・・と書けたんですが。

お礼

ありがとうございます。名前が似てますねｗ。おっしゃるとおり、間違っておりました。訂正します
(1) (cosx)^（3）/(sinx)^(1/2)　
〈5〉∫1/(a^2(sinx)^2+b^2(cosx)^2)dx
と変更します。