不定積分

質問

不定積分です。
①∮(0→1)√（1+√x）/√xdx
②∮（0→3）(x+x^3)√（1+x^2)dx
③∮sinx/3+sin^2xdx
④∮x√（x^2+2）dx
朝の小テストで分からなかった問題です。どうか教えてください。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

Cは積分定数とします

①
√x = t と置換すると
x = t^2 これを微分して
dx = 2t dt
また、x=0 のとき t=0 , x=1 のとき t=1
（与式）
= ∫(0→1) { √(1 + √x) / √x } dx
= ∫(0→1) { √(1 + t) / t } 2t dt
= ∫(0→1) 2 (1 + t)^(1/2) dt
= [ (4/3) (1 + t)^(3/2) ] (0→1)
= (4/3) * 2√2 - (4/3) * 1
= 4 (2√2 - 1) / 3 …答

②
√(1 + x^2) = t と置換すると
1 + x^2 = t^2 微分して
2x dx = 2t dt
∴ x dx = t dt
また x=0 のとき t=1 , x=3 のとき t=√10
（与式）
= ∫(0→3) (1 + x^2) * √(1 + x^2) * x dx
= ∫(1→√10) t^2 * t * t dt
= ∫(1→√10) t^4 dt
= [ (1/5) t^5 ] (1→√10)
= (1/5) 100√10 - (1/5)
= (100√10 - 1) / 5 …答

③
3 + (sinx)^2 = 3 + { 1 - (cosx)^2 } = 4 - (cosx)^2
と分母を変形すると
（与式）
= ∫ { (sinx) / ( 4 - (cosx)^2 ) } dx …(*)
ここで cosx = t と置換する。
微分して -sinx dx = dt
よって
(*) = ∫ { (sinx) dx / ( 4 - (cosx)^2 ) }
= ∫ { -dt / (4 - t^2) }
= ∫{ 1 / (t - 2)(t + 2) } dt (ここで部分分数分解より)
= ∫(1/4) { 1/(t-2) - 1/(t+2) } dt
= (1/4) ( log | t - 2 | - log | t + 2 | ) + C
= (1/4) ( log | cosx - 2 | - log | cosx + 2 | ) + C …答

④
x^2 + 2 = t と置換する。
微分して 2x dx = dt
(与式) = ∫ (1/2) √(x^2 + 2) (2x dx)
= ∫(1/2) √t dt
= (1/2) (2/3) t^(3/2) + C
= (1/3) (x^2 + 2)^(3/2) + C …答