• 締切済み
  • すぐに回答を!

不定積分の問題

(1)∫{1/(1-4X^2)}dx (2)∫(1-3X)^5dx の解き方と(3)I=∫2X(X^2+1)^4dxの問題で X^2+1=tと置くと2Xdx=dtと何故なるのかが解らないので 教えてください。あとこの問題で使われる置換積分が解らないので解き方とそのコツ等も教えていただけるとありがたいです。テストに出るのでお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数172
  • ありがとう数0

みんなの回答

  • 回答No.2

ぱっと見た感じですが 2x=sint とでも置換してください。 2=cost*dt/dx ⇔ 2dx=costdt これを用いてあとはご自分で計算してみてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 積分 問題

    積分 問題 ∫((x^2+1)^-1)dxについてどのようにして解けば良いでしょうか? x^2+1=tと置換してもdx=(1/2x)dtと(1/2x)が出てくるので・・・ どこかの例題というわけではないのですが、問題の解き方を教えて頂けませんか?

  • 不定積分。

    置換積分で次の問題をとくには? 「不定積分:∫1/(√(1+x^2))」 を解け」 という 問題なのですが、x=tanθで置換をして もできるらしいのですが(参考書には計算が面倒だができる) どうしても最後まで落とすことができません。 ちなみに参考書では√(x^2+1)+x=tで置換をやっていて、 計算は,√(x^2+1)+x=tとおくと[{x/√(x^2+1)}+1]dx=dt よって{1/√(x^2+1)}dx=(1/t)dt したがって∫1/(√(x^2+1))dx=∫(1/t)dt=logt+C=log{√(x^2+1)+x}+C という結果になっています。 しかし、x=tanθの置換をしたやりかたでは、 どのように計算をしていくのかが分りません。 どなたか、計算手順または解答を教えてください。 よろしくおねがいします。

  • x/(a^2+x^2)の積分について

    x/(a^2+x^2)の積分について t=a^2+x^2とおいて dt=2xdx よって ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C と置換積分により積分することが出来ますが、 部分積分では計算できないのでしょうか? (a^2+x^2)'=2x ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx として計算できると思ったのですが、うまく行きません。 どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

  • 回答No.1

以下、Cは積分定数です。(不定積分なので忘れずに) (1)部分分数分解(差分分解)をしてあげると 1/(1-4x^2)=1/2{1/(1+2x)+1/(1-2x)} とできますので、 ∫{1/(a+bx)}dx=1/blog|a+bx|+C を用いて ∫1/2{1/(1+2x)+1/(1-2x)}dx=1/4log|1+2x|+1/4log|1-2x|+C となります (2)合成関数の微分を用いて積分形を推測します (1-3x)^6を微分すると6(1-3x)^5*(-3)なので ∫(1-3x)^5dx=-1/18(1-3x)^6+C (3)まず、置換を使わず合成関数の微分を用いて (x^2+1)^5を微分すると5(x^2+1)^4*(2x) となるので ∫2x(x^2+1)^4dx=1/5(x^2+1)^5+C 置換の理由ですが、まぁ、そう置くと便利だからです。理由は後述するとしてまず式の説明を x^2+1=tとおく。   ・・・(1) 両辺をxで微分すると 2x=dt/dx ⇔ 2xdx=dt ・・・(2) これより ∫2x(x^2+1)^4dx=∫(x^2+1)^4(2xdx) ・・・(3) =∫t^4dt=1/5t^5+C 置換を戻して =1/5(x^2+1)^5+C つまり、 (1)と置換したことにより (2)のようになるので (3)のように2xがうまく消えてくれて簡単な積分形にできる これが理由です。 なお、この夏に微分を猛特訓すれば積分形はおのずと推測できるようになってきます。大切なのは微分の関係を把握しておくことです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

有難うございます。(1)の問題なんですが、問題を打ち間違えてました。ごめんなさい。本当は分母が√の数字でした。よければこの式の解き方も教えてください。お願いします。

関連するQ&A

  • 不定積分の解き方がわかりません。

    不定積分の解き方がわかりません。 (1)I=∫(2x+3)/(x^2+2x+2) dx (2)I=∫x/{(x+1)^(1/3) -1} dx 2番は、 {(x+1)^(1/3)=t として、 x+1=t^3 x=t^3-1 よって、 dx=3t^2 dt となって、 I=∫{(t^3-1)/(t-1)}* 3t^2 dt まではできたのですが・・・・ これからどう展開すればいいのかわかりません (>_<) どなたかお願いします。

  • 自分の置換積分の間違いを教えて下さい

    置換積分で遊んでいる内に、置換積分で積分した時と通常の方法で積分した時に答えが異なるケースがありました。 こんな事はありえないと思うので、自分の考えが間違っていると思うのですが、どこが間違っているのか分かりません。 済みませんが、皆さんのお知恵をお貸しください。 問題のケースはx^4です(置換積分する必要性は全くありませんが、思考実験として)。 ・通常の積分 ∫(x^4)dx=(1/5)*(x^5)+C ・置換積分の場合 t=x^2とする。 dt/dx=2x dx=(1/2x)dt ∫(x^4)dx =∫t^2*(1/2x)dt =(1/3)t^3*(1/2x)+C =(x^2)^3/6x+C =(1/6)*x^5+C 係数が、通常の積分の場合は1/5に、置換積分の場合は1/6になってしまいました。 どこが間違っているのでしょうか?

  • 不定積分の問題です。教えてください。 

    こんにちは。 ∫1/X^2+1 dxという問題なのですが部分積分法や置換積分法を用いてもうまく解けません。解法を教えてください。

  • 不定積分の問題

    解き方がわかりません(>_<)置換積分で上手くいかなかったのですがどうしたらいいでしょうか? ∫1/(x^4+4)dx ∫x^2/(x^4+4)dx

  • 不定積分

    毎度すみません。参考書の積分の問題を解いているのですが、答えが不確かなもので質問させて頂きます。 ・∫tan^2x dx t = tanx と置くと 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} dt/dx = 1/cos^2x , dx = cos^2x dt 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} X cos^2x dt = ∫(tan^2x) 2tanx dt = 2∫t^3 dt = 2 X t^4/4 = tan^4x /2 ・∫1/(x^2 + 2x + 5) dx =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) dx dt/dx = 2x + 2 dx = 1/(2x + 2) dt 与式 =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) X 1/(2x + 2) dt =log|x^2 + 2x + 5| 一応自分で解いてみたのですが、誤った記述がありましたらご指摘頂けると有難いです。また、答えを導く際、他に簡単な方法等ありましたら、教えて頂けたら嬉しいです。

  • x^2/(1+x^4)の不定積分

    ∫x^2/(1+x^4)dxを解いてみたのですが、 まず、部分分数をして x^4+1 =(x^4+2x^2+1)-2x^2 =(x^2+1)^2-(√2x)^2 =(x^2+√2x+1)(x^2-√2x+1) x^2/(1+x^4) =x^2/(x^4+1) =(ax+b)/(x^2+√2x+1)+(cx+d)/(x^2-√2x+1) 分母を払って x^2 =(ax+b)(x^2-√2x+1)+(cx+d)(x^2+√2x+1) =(a+c)x^3+(-√2a+b+√2c+d)x^2+(a-√2b+c+√2d)x+b+d 恒等式なので a+c=0,-√2a+b+√2c+d=1,(a-√2b+c+√2d)=0,b+d=0 a=-1/(2√2),b=0,c=1/(2√2),d=0 ∫x^2/(1+x^4)dx =-∫(1/(2√2)*x)/(x^2+√2x+1)dx+∫(1/(2√2)*x)/(x^2-√2x+1)dx ここまで解きましたが、この先の積分がわかりません。

  • 不定積分の問題がわかりません。

    ∫(tanX+1)^3 dx の解き方を教えて下さい。置換積分を使うと思うのですが。

  • 不定積分に関する質問

    不定積分に関する質問です。 (1)∫1/(1-x^2)^(5/2)dx と (2)∫x^2/(x^2+1)^(7/2)dx の解き方が分からずに困っております。 答えの求め方を教えて頂けないでしょうか?お願いします。

  • 不定積分

    次の不定積分の計算ができません。 ∫e^2x/((e^x)+3)^2 dx の計算ができません。 とりあえず、置換積分すると2回置換しなければなりません。しかも解答と合わない。 解答はlog(e^x +3)+3/e^x +3 +C となっています。

  • 不定積分が分かりません。

    以下の不定積分の解き方が分かりません。分かる問題だけでも良いのでご教授願います。 1. ∫√(x-1)/√(x+1)dx 2. ∫(e^2x/(e^x+1))dx 3. ∫(12/(x^3-8))dx よろしくお願いします。