不定積分の問題

質問

（１）∫｛１/（１－４X＾２）｝ｄｘ
（２）∫（１－３X)＾５ｄｘ
の解き方と（３）I＝∫２X（X＾２＋１）＾４ｄｘの問題で
X＾２＋１＝ｔと置くと２Xｄｘ＝ｄｔと何故なるのかが解らないので
教えてください。あとこの問題で使われる置換積分が解らないので解き方とそのコツ等も教えていただけるとありがたいです。テストに出るのでお願いします。

回答No.2

pandafish

ぱっと見た感じですが
2x=sint
とでも置換してください。
2=cost*dt/dx ⇔ 2dx=costdt

これを用いてあとはご自分で計算してみてください。

回答No.1

pandafish

以下、Cは積分定数です。（不定積分なので忘れずに）
(1)部分分数分解（差分分解）をしてあげると
1/(1-4x^2)=1/2{1/(1+2x)+1/(1-2x)}
とできますので、
∫{1/(a+bx)}dx=1/blog|a+bx|+C
を用いて
∫1/2{1/(1+2x)+1/(1-2x)}dx=1/4log|1+2x|+1/4log|1-2x|+C
となります

(2)合成関数の微分を用いて積分形を推測します
(1-3x)^6を微分すると6(1-3x)^5*(-3)なので
∫(1-3x)^5dx=-1/18(1-3x)^6+C

(3)まず、置換を使わず合成関数の微分を用いて
(x^2+1)^5を微分すると5(x^2+1)^4*(2x)
となるので
∫2x(x^2+1)^4dx=1/5(x^2+1)^5+C

置換の理由ですが、まぁ、そう置くと便利だからです。理由は後述するとしてまず式の説明を
x^2+1=tとおく。　　 ・・・(1)
両辺をxで微分すると
2x=dt/dx ⇔ 2xdx=dt ・・・(2)
これより
∫2x(x^2+1)^4dx=∫(x^2+1)^4(2xdx) ・・・(3)
=∫t^4dt=1/5t^5+C
置換を戻して
=1/5(x^2+1)^5+C

つまり、
(1)と置換したことにより
(2)のようになるので
(3)のように2xがうまく消えてくれて簡単な積分形にできる
これが理由です。

なお、この夏に微分を猛特訓すれば積分形はおのずと推測できるようになってきます。大切なのは微分の関係を把握しておくことです。

補足

有難うございます。（１）の問題なんですが、問題を打ち間違えてました。ごめんなさい。本当は分母が√の数字でした。よければこの式の解き方も教えてください。お願いします。