不定積分です。よろしくお願いします。

質問

（sinx)^4dx の積分で、答えは 3/8x-3/16sin2x-1/4cosx(sinx)^3+cです。
これは参考書の問題なんですが、解説が全くありません・・・。部分積分法の問題ですがどなたか是非この問題わかりやすく教えて下さい。
数学は得意ではないので、くわしく書いていただけるとすごく助かります。よろしくお願いします。

回答No.1

ensof · ベストアンサー

I(n)=∫(sinx)^n
とおく。
　　I(4)=∫(sinx)^3(－cosx)´dx
　　　　=(sinx)^3(－cosx)－∫3(sinx)^2cosx(－cosx)dx
　　　　=－(sinx)^3cosx＋3∫(sinx)^2(cosx)^2dx
　　　　=－(sinx)^3cosx＋3∫{(sinx)^2－(sinx)^4}dx
　　　　=－(sinx)^3cosx＋3I(2)－3I(4)
よって
　　I(4)=－3/4I(2)-1/4cosx(sinx)^3
となります。また、
　　I(2)=1/2x－1/4sin2x＋C
より、答えは解答の通りになります。

ポイントは、３行目から４行目への式変形で、そこで部分積分を用いてます。

また、これは∫(sinx)^ndxを考えるときの定石で、I(n)とI（n－2）の漸化式が得られるのがミソです。定積分の問題のところに同種の問題があるんではないかと思いますが…。

補足

わざわざ、くわしく答えていただき本当にありがとうございます。
I(4)=－3/4I(2)-1/4cosx(sinx)^3　と　I(2)=1/2x－1/4sin2x＋C　がどうして、こうなるのかその計算過程がわかりませんでした・・・どうか、おしえていただけないでしょうか？お願いします。

回答No.4

postro

No.2です
∴　のマークは「ゆえに」とか「したがって」という意味で使われます。
この場合、見やすいように　∫(sinx)^4dx　を　A　と書くと、
A=-cosx(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx-3A
になったので、「ゆえに」（右辺の-３Aを左辺に移項して）
∴ 4A=-cosx(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx　と書いたわけです。（たいして深い意味はないですね）

回答No.3

maiuumaiuu

部分積分を使うのは定石ではありません.
3角関数の多項式の不定積分は2倍角の公式や和積公式を
使って次数を下げるのが多くの本にある定石です.
今の場合は2倍角の公式を2回使って次数を下げます.

cos 2t=1- 2(sin t)^2 = 2 (cos t)^2 -1より
(sin t)^2= (1-cos 2t)/2 ...(ア)
(cos t)^2= (cos 2t +1)/2　...(イ)
となります．

(ア)より (sin x)^2= (1-cos 2x)/2　...(ウ)
(ウ)の両辺を2乗すると
(sin x)^4= (1-cos 2x)^2/4 　
これは cos 2x の2次式なので(イ)が
使えて　(sin x)^4　はcos 2x, cos 4x の1次式になります．1次式なら積分は簡単です.
すなわち　∫　cos ax dx = -(sin ax )/a +C
8乗とか16乗でも同じ方針で出来ることがすぐ分かります. 和積公式をあわせて用いれば, 3角関数の任意の多項式の次数を下げて1次式にでき，したがって不定積分が求められます.

不定積分でなく,　0からπまでの定積分なら部分積分の方が一般的な(多くの本で採用されている)解法です
No. 1 の計算にsin 0=sin π=0 を組み合わせるのです.

ところで, 質問者がお使いの参考書では 3/8x-3/16sin2x-1/4cosx(sinx)^3+cが答えとのことですが,　sin 2x (1次式で，代わりに引数が 2x)　と　cosx(sinx)^3 (4次) が混ざっているあたり，方針が一貫せず,　読者に何を教えたいのか意図が不明です.　他書に比べて非常に癖のある計算だと思います.
いったい何という本ですか.

回答No.2

postro

事前準備
∫(sinx)^2dx=(1/2)∫(1-cos2x)dx=(1/2)(x-(1/2)sin2x)+C=x/2-(1/4)sin2x+C
本題
∫(sinx)^4dx=-∫(cosx)'(sinx)^3dx=-cosx(sinx)^3+3∫(sinx)^2(cosx)^2dx
=-cosx(sinx)^3+3∫(sinx)^2*(1-(sinx)^2)dx
=-cosx(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx-3∫(sinx)^4dx
∴ 4∫(sinx)^4dx=-cosx(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx=-cosx(sinx)^3+3x/2-(3/4)sin2x+C
∴ ∫(sinx)^4dx=3/8x-3/16sin2x-1/4cosx(sinx)^3+C
最善の方法かどうか自信ありません

補足

すばらしい解説ありがとうございます。しかし、まだよく理解できないところがあります。
∴ 4∫(sinx)^4dx=-cosx(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx=-cosx(sinx)^3+3x/2-(3/4)sin2x+C
の表現が分かりません。∴のマークは何の意味でしょうか？数学度素人ですみません。すみませんがよろしくお願いします。