積分について・・・

質問

例えば、

∫√(2x-1) dx = 1/2 * 2/3 * (2x-1)√(2x-1) + C
= 1/3 * (2x-1)√(2x-1) + C

というように、二分の一乗の、二分の一で割っているのに、
次の問題でも同じように割ってしまうと・・・

∫(cosx)^(-2) dx = 1/(-sinx) * 1/(-1) * 1/(cosx) + C
= 1/{(sinx) * (cosx)} +C

となり、答えが違ってきます。この問題の正解はtanx + C　なんですが・・・。
tanx + C　にするためには、-sinxで割るのではなく、-sinxでかけないといけません。上と下の問題を同じようにやるとおかしくなります。上では割って、下ではかけて・・・。

このようなやり方の差はなぜ起こるんでしょうか？この二つの問題の間で何が起こってるんですか？

回答No.2

tecchan22 · ベストアンサー

{f(x)}^n の微分は、n[{f(x)}^(n-1)]f’(x) ですよね。・・・★

このf’(x) が定数の場合と、そうでない場合で、違ってきます。

定数の場合、つまり f(x) が一次式 ax+b の場合は、
(ax+b)^n の微分は、na(ax+b)^(n-1)

だから、
∫na(ax+b)^(n-1) dx ＝ (ax+b)^n＋Ｃ　（Ｃは積分定数）
na は定数だから、
na ∫(ax+b)^(n-1) dx ＝ (ax+b)^n＋Ｃ
両辺を na で割って、
∫(ax+b)^(n-1) dx ＝ (1/na)(ax+b)^n＋Ｃ’（Ｃ’は積分定数。Ｃ のままでもいいか）
となります。

しかし、f’(x) が定数でない場合には、そうできますか？★から、
∫n[{f(x)}^(n-1)]f’(x) dx ＝ {f(x)}^n＋Ｃ
だから、
n ∫[{f(x)}^(n-1)]f’(x) dx ＝ {f(x)}^n＋Ｃ
よって
∫[{f(x)}^(n-1)]f’(x) dx ＝ (1/n){f(x)}^n＋Ｃ
までは言えますが、
f’(x) は定数でなくｘの式ですから、∫の外に出せないでしょう？

だから駄目なんです。
f(x) をｔとかで置換してみればよく分かると思います。

先の例で言えば、
∫{(cosx)^(-2)}(-sinx) dx = -(cosx)^(-1)＋Ｃ
は正しいですが、この式で、－sinx を外に出すことは出来ないでしょう？
だから駄目なんです。

回答No.1

A-Tanaka

おはよう。
上の問題は、直接解法が求められる積分です。関数の性質から、y=f(x)は常に一対一の関係にあります。

しかしながら、sin(x)、cos(x)やtan(x)等の周期関数は、y=f(x)において、解となるyの値は周期的に出現します。
例：y=sin(x)の解は, (y, x+2π）

このようなことから、cos(x)^(-2)は、まず1/{cos(x)*cos(x)}という形式に直し、その上で積分を実行するためにこのようなことが起こります。このような形式の積分は、部分積分となるため、-sin(x)をかけることになるからなのです。