微積分学のマクローリン展開について

質問

tanxのマクローリン展開がわかりません。
tanxの微分から直接求めるのではなく、sinx,cosxなどの基本的な関数のマクローリン展開が既知のものとして、解きたいです。
例えば
tanx=sinx/cosxよりsinx=x-x^3/3!+…,cosx=1-x^2/2!+…を代入して…
といった具合です。
教えてください。

回答No.2

178-tall

参照 URL
　　↓ ベルヌーイ数の応用―テイラー展開―
など。

参考URL：

https://shadowacademy.web.fc2.com/bernoullitaylor.html

回答No.1

gamma1854

1/cos(x)=1+c[2]x^2+c[4]*x^4+c[6]*x^6+....
とおき、
1={1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...}*{1+c[2]*x^2+c[4]*x^4+...}
より同類項をまとめ係数比較することにより、
c[2]=1/2, c[4]=5/24, c[6]=61/720, c[8]=277/8064, ...
を得ます。
これを使い、
tan(x)={x-x^3/3!+x^5/5!-...}*{1+x^2/2+(5/24)x^4+)61/720)x^6+...}
=x+(1/3)x^3+(2/15)x^5+(17/315)x^7+....
と求められます。(|x|<pi/2)