積分、うまい解き方はないか。。。

質問

∫1/(1-cosx)dx,∫sin2x/(sinx-1)はtanx/2=tと置く事によりうまく解けるのですが、これ以外の解き方はないでしょうか。この解き方だと時間が多少かかります。

極限の定石1-cosxをみたら1＋cosxをかける、またこれを応用して1-ｓsinxを見たら1+sinxをかけるということを試みたら上のような問題が解けたことがあります。でも上のものはこの方法ではできませんでした。

上の2つの積分との解き方と、一般に入試問題で極限の考え方で通用することは多いのか少ないのかということを教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.3

noname#47975 · ベストアンサー

∫1/(1-cosx)dx
1-cosx = 2(sinx/2)^2
2(sinx/2)^2 = 2(cos(π/2-x/2))^2
より、
∫1/(1-cosx)dx = ∫1/{2(cos(π/2-x/2))^2}dx
=1/2∫1/{cos(π/2-x/2)}^2dxと置き換える事が出来ます。
後は、
{tan(π/2-x/2)}' = (π/2-x/2)'1/{cos(π/2-x/2)}^2
=(-1/2)×1/{cos(π/2-x/2)}^2になるのを利用すれば出来ると
思います。
こういう解き方もありますが…。

お礼

やはり置換したほうがいいのですね。少し考えてできなかったら上の置換でやることにします。

皆様ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

∫sin2x dx/(sinx-1)
については sin 2x = 2 sin x cos x だから sin x = t とおいてもいけそうな感じ.

回答No.1

noname#101087

「tan(x/2)=tと置く事によりうまく解ける」のはなぜなの?

その理由を少しばかり考えてみたら?
得るところがあるかも。