大学数学の積分の問題 ∫[0→π/4]log(tanx+1)dx

質問

問題集の問題ですが、下の問題がわからなかったので、どなたかわかる方教えてください。
∫[0→π/4]log(1+tanx)dx
答えは(π/8)*log2になるようです。
学校が春休みで先生に聞くことも出来ません。

それと∫log(cosx)dxや∫log(sinx)dxをとくコツのようなものがあれば教えてほしいです。不定積分では解けないという
話を聞いたことがあるのですが、たとえば0<x<π/4のときはどうすれいいのでしょうか。

回答No.1

Mr_Holland

log(1+tanx)の積分は、フーリエ展開してから定積分を行ってください。

　また、log(cosx)とlog(sinx)の定積分もフーリエ展開を行ってから定積分を行ってください。
　これらの不定積分は、フーリエ級数展開の形でよければ実行可能です。
　０～π/4の定積分では、積分値にCatalan定数が含まれますので、あまり綺麗な形とは言えないかもしれません。

１）∫[0→π/4]log{1+tan(x)}dx

　　log{1+tan(x)　＝1/2 ln(2) －Σ[n=1→∞] {cos(2nx+nπ/2)+(-1)^(n-1) cos(2nx)}/n

　∴∫[0→π/4]log{1+tan(x)}dx
　＝π/8 ln(2)＋Σ[n=1→∞] {sin(nπ/2)-(-1)^(n-1) sin(nπ/2)}/(2n^2)
　＝π/8 ln(2)＋０
　＝π/8 ln(2)

　なぜならば、Σの中身について見ると、
　　n=4m+1のとき　+1－(+1)×(+1)＝0
　　n=4m+2のとき　 0－(-1)×0 ＝0
　　n=4m+3のとき　-1－(+1)×(-1)＝0
　　n=4m のとき　 0－(-1)×0 ＝0
となるので、Σの中身は正整数ｎについて常に０となっているからです。

２）∫[0→π/4]log{cos(x)}dx

　　log{cos(x)}　＝Σ[n=1→∞] (-1)^(n-1) cos(2nx)/n　－ln(2)

　∴∫[0→π/4]log{cos(x)}dx
　＝1/2 Σ[k=1→∞] (-1)^(k-1)/(2k-1)^2 －π/4 ln(2)
　＝1/2 (Catalan)－π/4 ln(2)

　ただし、(Catalan)＝0.9159655941772　（Catalanの定数）

３）∫[0→π/4]log{sin(x)}dx

　　log{sin(x)}　＝－Σ[n=1→∞] cos(2nx)/n　－ln(2)

　∴∫[0→π/4]log{sin(x)}dx
　＝－1/2 Σ[k=1→∞] (-1)^(k-1)/(2k-1)^2 －π/4 ln(2)
　＝－1/2 (Catalan)－π/4 ln(2)

お礼

ありがとうございました。
丁寧な説明でとても助かりました。