ベストアンサー ∫log sinx dxや∫log cosx dx のやり方 2003/07/19 20:30 ∫log sinx dxや∫log cosx dxの計算をやっているのですが、置換積分や部分積分をフル活用しているのですが、先が見えません。助けて下さい。 みんなの回答 (2) 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー F0ur1er ベストアンサー率60% (9/15) 2003/07/20 01:40 回答No.2 こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え します。広義積分を習っていることを仮定しますが… でも、 ∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx についてだけです。 まず、上の積分が収束するかという問題があります。 (実際には、絶対収束します。) この収束を示すことが必要なら補足しますので、 ここでは省きます。 (ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。) 以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、 I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x と変数変換すると I=∫_{x=π/2~π}log (sinx) dx I=∫_{x=0~π/2}log (cosx) dx となります。これらは、右辺の広義積分が収束して 値がIに等しいことを意味します。一方、 2I=∫_{x=0~π}log (sinx) dx であり、x=2tとおくと I=∫_{x=0~π/2}log (sin2t) dt =∫_{x=0~π/2}log (2 sint cost) dt =∫_{x=0~π/2}log 2 dt+∫_{x=0~π/2}log (sint) dt+∫_{x=0~π/2}log (cost) dt =π/2*log 2+2I ∴ I=ーπ/2*log 2 となります。ご参考までに。 質問者 お礼 2003/07/20 18:33 ありがとうございます。 本来の問題のとおりの範囲でした(0~π/2)。 部分か置換かのやり方がわかればできると思って不定積分で質問を出してしまいました。 丁寧な解説をありがとうございました。 通報する ありがとう 0 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 その他の回答 (1) siegmund ベストアンサー率64% (701/1090) 2003/07/19 22:31 回答No.1 ∫log(sin x) dx や ∫log(cos x) dx は初等関数の範囲内では 積分が表せないことが知られています. 質問者 お礼 2003/07/20 18:30 回答ありがとうございます。 本来の問題ではご指摘のとおり不定積分ではなく、定積分でした。字足らずでした。 通報する ありがとう 0 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A ∫2/(3-3sinx+2cosx)dx 数学・算数 ∫(2-sinx)/(1+cosx)dxの計算 数学・算数 【問題】∫{(cosx)^2*(sinx)^3}dxの計算をせよ。 数学・算数 積分 問題 1/sinx について 数学・算数 ∫√{1-2(cosx)^2}dx 数学・算数 ∫(cosx/(sin^2x+4))dxの解き方 数学・算数 cosx/sinxの積分を教えてください 数学・算数 積分教えてください 数学・算数 微分方程式の解 積分 ∫sec^(3)x*e^(tanx+log|cosx|) dx 数学・算数 三角関数の積分 数学・算数 大学数学の積分の問題 ∫[0→π/4]log(tanx+1)dx 数学・算数 1/(sinx+cosx)の積分 数学・算数 三角関数 不定積分 1/sinx 数学・算数 log(sin)dxの積分について 数学・算数 積分がわかりません 数学・算数 不定積分∫1/(1+sinx)dxがわかりません。 数学・算数 ∫[0,∞]sinx/x dxについて 数学・算数 (1)1/3<∫{0→1} x^(sinx+cosx)^2 dx 数学・算数 三角関数の積分について 数学・算数 積分について 数学・算数
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ありがとうございます。 本来の問題のとおりの範囲でした(0~π/2)。 部分か置換かのやり方がわかればできると思って不定積分で質問を出してしまいました。 丁寧な解説をありがとうございました。