積分で体積を求める問題

質問

添付画像の、赤やじるし　で、どうしてこうなるのかが、わかりません。

　青丸4番　・・・　特に　上の式ではｄｙだったのに、
　下の式では　ｄｘになっているのと、

　ｘ二乗が、微分されて？　ーｘ^2　sinx　e＾cosx　　になっている？　ということでしょうか？　

　ここは、何が起こっているのでしょうか？

回答No.2

whirlwhirl · ベストアンサー

画質粗いです。解読できたことを順に並べていきます。
f(x) = 1 + e^x
g(x) = 1/x
h(x) = sec x

y=f(g(h(x)))=f(g(sec x))=f(1/sec x)=f(cos x)=1+e^cos x

dy = 1+e^cos x dx = -sin(x)e^cos x dx
dy/dx = -sin(x)e^cos x
= -sin(x)(1-y) = (y-1)sin(x)
(ref. http://www.derivative-calculator.net)

定積分の置換積分
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/chikansekibun.html
上記urlの定積分にdy/dxを入れれば青丸4番になりますね。

お礼

定積分の置換積分 →　決定的でした・・・。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

Knotopolog

写真の「緑丸２」は，

dy/dx ＝ －(sin x)e^(cos x)

です．この式から，dy は，

dy ＝ －(sin x)e^(cos x)dx

と書けます．この式を用いて，π∫x^2 dy の dy を書き換えれば，

π∫x^2 dy＝π∫x^2 (－(sin x)e^(cos x)dx)

です．故に，写真「青丸４」の式，

π∫x^2 dy＝π∫－x^2 (sin x)e^(cos x)dx

を得ます．
なお，定積分の上限と下限は，写真の文字が小さく不鮮明なため，読み取れませんので省略しました．

お礼

お陰様で、とてもよくわかりました・・。

ご回答、どうもありがとうございました！