【定積分】全9問解き方教えて下さい※1問のみでも可

質問

定積分の問題が解き方がわかりません。
教科書には答えだけがのっており、
数学が苦手な私は全然解き方が思いつきません。

【∫↑　～　∫↓】…定積分の範囲

(1) 【2π～0】 ∫cos^2x sin^2x dx 答え　π/4

(2)【π/2～0】 ∫sin^4x dx　　　　　　　　　　　　　　答え　3π/16

(3)【π～0】　　∫x^2 sin^2 dx　　　　　　　　　　　　答え　π(2π＾2 -3)/12

(4)【π～0】　　∫√(1+cosx) dx　　　　　　　　　　　答え　2√2

(5)【2～0】　　 ∫x^2√(2x-x^2) dx　　　　　　　　　答え　5π/8

(6)【π/2～0】 ∫1/(4+5sinx) dx　　　　　　　　　　　答え　log2/3

(7)【π/4～0】 ∫1/(1+2sin^2x) dx　　　　　　　　　　答え　π/3√3

(8)【2～1】　　 ∫1/√(x^2 -1) dx　　　　　　　　　　答え　log(2+√3）

(9)【2～0】　　 ∫1/√(x(2-x)) dx　　　　　　　　　　　答え　π

答えは解くときの参考にしてもらえたらと思います。
全部は解けないけど何問かはわかる、という方も
解答をお願いします。

初めての質問で至らない点もあるかと思いますが
よろしくお願いします。

回答No.2

dreamfighter · ベストアンサー

本当にごめんなさい。（１）ミスがありました。

訂正版と残りの問題の解答を、僕のブログにupします。そちらで見てください。（ここに載せられない・・）

http://ameblo.jp/1567kashi6519h/

お礼

ポイントなども丁寧に書いてくださって
本当にありがとうございます！
とても助かりました＾＾

回答No.3

Tacosan

「解き方教えて下さい」ということなので「解き方」だけ:
(1) と (2) は半角の公式とか積和の公式とかを使う. (3) はそれに加えて部分積分.
(4) も半角の公式. (5), (8), (9) はルートの中が簡単になるように置換.
(6), (7) は最悪 tan (x/2) とか tan x とかを適当に置き換えればできそう.

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.1

dreamfighter

（1）【2π～0】 ∫cos^2x sin^2x dx＝∫(cosx sinx)^2 dx (ここでsin2x=2sinxcoxを考えよう)
＝∫(1/2sin2x)^2dx=1/4∫(sin2x)^2dx (ここで半角の公式　(siny)^2=1/2 1-cos2y を考えよう)
＝1/4∫(1/2 1-cos2×2x)^2 dx (y=2xにしたよ！)
＝1/16∫(1-2cos4x+(cos4x)^2)dx (ここで　半角の公式　(cosy)^2=1/2 1+cos2yを考えよう)
＝1/16∫(1-2cos4x+ 1/2 1+cos2×4x)dx(y=4xにしたよ！)
＝1/32∫(3-4cos4x+ cos8x)dx(1/2でくくったよ！)
＝1/32[3x-sin4x+1/8sin8x] 【2π～0】
=1/32[6π]＝3π/16

*分子が長いので　2cosx/3 を　2/3　cosx にしたよ。

ひとまず一問だけ。暇があったら助けてあげます。

お礼

細かく回答してくださってありがとうございます！
とても助かります。
はい、暇があるときでいいので助けていただけたらありがたいです。
よろしくお願いします。