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定積分の変数変換
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右辺が間違っています．数学公式集では ∫(0,π/2) exp(-a cos(x)) cos(sin(x)) dx = -si(a) となっています．そして si(a) = -∫(a,∞) sin(x)/x dx ですから，質問の a = 1 のケースでは ∫(0,π/2) exp(-cos(x)) cos(sin(x)) dx = ∫(1,∞) sin(x)/x dx です． さて，この式の証明ですが，複素積分を経由するのが簡単です． 以下方針のみ．まず， f(z) = exp(-z)/z という関数を考え，積分経路 C を次のように設定します． C1: 1 から -i へ単位円を時計回りに進む C2: -i から -iR へ虚軸の負方向に進む C3: -iR から R へ半径 R の円を反時計回りに進む C4: R から 1 へ実軸の負方向に進む このとき，f(z) が C 内で正則なので ∫_C f(z) dz = 0 となります．次に，この積分を，上の 4 つの経路で それぞれ評価します． C1: この部分の虚部が左辺です． C2: 純虚数で，右辺の -i 倍になります． C3: R を十分大きく取れば，いくらでも小さくなります． C4: 純実数となります． よって，式の虚部を比較すると，問題の式が得られます．
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