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数学 積分法

数学でわからない問題があります。 cos^3xsinxを積分したいのですが、うまくいきません。 私が考えたのはこういうものです。 sinx=tとおく。cosxdx=dt cos^3xsinx=cos^2xcosxsinx また、cos^2x=1-sin2xより ∮cos^3xsinx dx=∮(1-t^2)t dtとなる。 よって1/2t^2-1/4t^4+Cより 1/2sin^2x-1/4sin^4x+C (Cは積分定数) こうしたのですが違いました。 cosx=tとすると解答と一致し、 -1/4cos^4x+C となりました。 sinx=tのやり方のどこが間違っているのかわかりません。 教えてください。

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> しかし、cosx=tとおいて計算した、正式な答えは-1/4cos^4x+Cなのです。 ですから、それとsin x=tとおいて計算した (1/2) sin^2 x-(1/4) sin^4 x +C = - (1/4) cos^4 x + 1/4 +C は(積分)定数を除いて一致しているからいい(どっちも間違ってない)でしょ?という話。 例えば∫(x+1) dxというのは計算の仕方によっては(1/2) (x+1)^2 +Cとする人もいれば(1/2)(x^2) + x + Cとする 人もいますが、 (1/2) (x+1)^2 = (1/2) x^2 + x + (1/2) で、(1/2)(x^2) + x とは1/2だけ違いますが、これも積分定数の違いで別に問題ないという話ですよね(どっちも微分するとx+1に戻りますね)

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質問者からのお礼

何度も回答申し訳ありません。 そしてありがとうございます。 おかげでよくわかりました。 積分定数のその話は、私の知識不足でした。 本当にありがとうございました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2

(1/2) sin^2 x-(1/4) sin^4 x = (1/4) - (1/4) (1 - 2 sin^2 x + sin^4 x) = (1/4) - (1/4) (1 - sin^2 x)^2 = (1/4) - (1/4) (cos^2 x)^2 = (1/4) - (1/4) cos^4 x となって積分定数を除いて一致する。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 しかし、cosx=tとおいて計算した、正式な答えは-1/4cos^4x+Cなのです。 よろしければ、sinx=tとおくやり方でのこの答えの求め方を教えてください。

  • 回答No.1

>また、cos^2x=1-sin2xより >∮cos^3xsinx dx=∮(1-t^2)t dtとなる。 ここが間違い cos^2x=1-sin2x なので (1-t^2)にはならない

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 すみません。 cos^2x=1-sin2xは私の入力ミスで、 正確にはcos^2x=1-sin^2xでした。

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