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マクローリン展開と置換積分(∫xcosxdx)
現在大学2年で理工学部で物理専攻しています。 そこで、 ∫xcosxdx -(#) についての質問なんですが、 (#)=∫x(sinx)'dx とおくと、高校数学の範囲で (#)=cosx+xsinx+C(積分定数) とわかるのですが、 (#)=∫(x^2/2)'cosxdx とすると、nの偶奇によって最終項が変わりますが、 (#)=cosx(x^2/2! - x^4/4! + x^6/6! -・・・)+sinx(x^3/3! - x^5/5! + x^7/7! - ・・・) + ∫(x^n/n!)sinxdx もしくは (#)=cosx(x^2/2! - x^4/4! + x^6/6! -・・・)+sinx(x^3/3! - x^5/5! + x^7/7! - ・・・) + ∫(x^n/n!)cosxdx となります。 マクローリン展開を使うと、 (#)= cosx + xsinx - 1 + ∫(x^n/n!)cosxdx or (#)= cosx + xsinx - 1 + ∫(x^n/n!)sinxdx になります。 これがcosx+xsinx+C(積分定数)になるには最終項の積分が定数にならなくてはおかしいと思うのですが、この最終項が定数に収束することって証明できるのでしょうか? または、この考察はどこか間違いがあるのでしょうか? よろしくお願いします。
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お礼
ありがとうございました。 理解しました。