マクローリン展開について
マクローリン展開について
以前あるサイトで質問したのですが、その回答がよくわからなかったのでこちらで質問します。
1/1-x についての級数展開の質問になります。
1/1-xをマクローリン展開すると、1+x+x^2+x^3+x^n+・・・・とないっていきますが、この時の収束がわかりません。
以前質問したときにこんな回答がありました。
f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n!
Sm(x)=Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n!=Σ[n=0,m-1]x^n (級数Σ[n=0,∞]x^nのm部分和)
f(x)にマクローリンの定理を適用したときの剰余項をRm(x)とすると
f(x)=Sm(x)+Rm(x)
と表わせる。
|Rm(x)|=|Sm(x)-f(x)|
=|Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n! -1/(1-x)|
=|Σ[n=0,m-1] x^n - 1/(1-x)|
=|(1-x^m) / (1-x) - 1/(1-x)|
=|x^m/(1-x)|…☆
しかし、f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n!というのが分かりません。
どこからこのような式はでてくるのでしょうか?
また、剰余項というのは、級数は無限には実際計算できないわけで、例えばn=5とかで計算を終わらせる必要がありますが、
その時n=6以降の項は切り捨てることになります。
その切り捨てた項が剰余項となるのでしょうか?
余った項とかくので。
収束条件と剰余項がどういう関係があるのかはいまいちわかりませんが。
お礼
回答いただき、ありがとうございました。 微分を進めて、何とか回答に辿り着きましたが、一般項がうまく求められません。 補足を記入しましたので、もう少しお助けいただけますと、幸いです。
補足
微分のヒントを頂き、ありがとうございました。 n次の微分を計算していき、x->0とすると、 微分次数が 奇数時は f',f''',f'''''…=f(2n+1)=1,2,16,272…、 偶数時は f,f'',f''''…=f(2n)=0 (上記f( )内は微分次数のつもりです) となるのは分かりました。 力技で、回答には辿り着けましたが、うまく一般項にできません。 つまり、tanx=Σ([?]*x^(2n+1)/(2n+1)!)と表記するにあたり、1,2,16,272…(n=0,1,2,3…のとき)を一般化して[?]に表すにはどうすればよろしいでしょうか。 もう少しのお助けをお願い致します。