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tanxのマクローリン展開について

「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。 f(x)=sin(x)やf(x)=cos(x)の例を参考に、f'(0)、f''(0)、f'''(0)より級数形式の一般項を求めようとしました。 tanx=sinx/cosxなので、f'=1/cos^2xですが、このままf''、f'''と求めるのは大変面倒な気がします。 最終的な回答は、x+x^3/3+2x^5/15+34x^7/315らしいのですが、こちらから一般項に辿り着けません。 わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。 できましたら、途中の進め方を詳しくお願い致します。

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  • yoikagari
  • ベストアンサー率50% (87/171)
回答No.1

1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。 tanxをxで微分すると (tanx)'=f'(x)=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2 となります。 あとは f''(x)=2*(tanx)*(tanx)'=2tanx+2*(tanx)^3 f'''(x)=2(tanx)'+2*3*(tanx)^2*(tanx)'=2+8tanx^2+6(tanx)^3 といった感じで、f''(x)、f'''(x)、…は計算できます。

mitasshi
質問者

お礼

回答いただき、ありがとうございました。 微分を進めて、何とか回答に辿り着きましたが、一般項がうまく求められません。 補足を記入しましたので、もう少しお助けいただけますと、幸いです。

mitasshi
質問者

補足

微分のヒントを頂き、ありがとうございました。 n次の微分を計算していき、x->0とすると、 微分次数が 奇数時は f',f''',f'''''…=f(2n+1)=1,2,16,272…、 偶数時は f,f'',f''''…=f(2n)=0 (上記f( )内は微分次数のつもりです) となるのは分かりました。 力技で、回答には辿り着けましたが、うまく一般項にできません。 つまり、tanx=Σ([?]*x^(2n+1)/(2n+1)!)と表記するにあたり、1,2,16,272…(n=0,1,2,3…のとき)を一般化して[?]に表すにはどうすればよろしいでしょうか。 もう少しのお助けをお願い致します。

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その他の回答 (2)

  • siegmund
  • ベストアンサー率64% (701/1090)
回答No.3

最も標準的な方法はやはり f^{(n)}(x) を次々計算する方法でしょう. 具体的テクニックは No.1 で yoikagari さんが書かれているとおりです. ただし,今の場合はもう少し簡便にやる方法もあります. n=3 までということは x^3/3 の項まで求めよということでしょうね. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ・・・     = x(1+f) f = -x^2/3! + x^4/5! - ・・・ と書き,同様に cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ・・・     = 1-g g = x^2/2! - x^4/4! + ・・・ としておきます. tan(x) = sin(x)/cos(x) ですから tan(x) = x(1+f)/(1-g)     = x(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) となります. 右辺全体に x がかかっていますから,x^3 のオーダーまで求めるには (1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) で x^2 のオーダーまで求めればよいわけです. f も g も x^2 から始まりますから, (1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) = {(-1/3!)+1/2!}x^2 + (x^4 以上の項) となり, {(-1/3!)+1/2!} = 1/3 から tan(x) = x + x^3/3 + ・・・ が分かります. これくらいでしたらほとんど暗算で済みますね. n=5 までやるのでしたら, (1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) で x^4 のオーダーまで求める必要があります. この場合は (a) 1+f の x^4 のオーダーの項と(1+g+g^2+g^3+・・・) の1との積 (b) 1+f の 1と (1+g+g^2+g^3+・・・) の x^4 のオーダーの項の積 (c) 1+f の x^2 のオーダーの項と(1+g+g^2+g^3+・・・) の x^2 のオーダーの項の積 の3つが x^4 に寄与します. (a) から来る寄与は 1/5! (b) から来る寄与は   g そのものから -1/4!,   g^2 から (1/2!)^2 (c) からは -(1/3!)×(1/2!) 合わせて 1/5! - 1/4! + (1/2!)^2 - (1/3!)×(1/2!) = 2/15 なので, tan(x) = x + x^3/3 + (2/15)x^5 + ・・・ こっちはちょっと暗算では無理か(少なくとも私には). なお,一般項がシンプルな形に書ける方がむしろ珍しいです.

mitasshi
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 sin(x) ,cos(x)は例題に詳しい回答があるため展開形の商も考えたのですが、ご紹介の手法が思いつきませんでした。 なお、例題の回答はsin(x) ,cos(x)がシンプルな一般項になっていたため、tan(x)も同様になるのかと思った次第です。

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  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.2

まず,関数の冪級数展開をしたときに その一般項がお望みのように tanx=Σ([?]*x^(2n+1)/(2n+1)!) のような「すっきりした形」で書けるという 保証はないんです. 実際,ある種の数列{A_n}は ある関数f(x)を冪級数展開した際に f(x)=Σ(A_n/n!) x^{n} ----(1) と現れる係数であるという風に定義されるものも あります. さて,本題.じつはtan(x)も この手の仲間です ベルヌーイ数と呼ばれる値B_nを用いて tan(x) = Σ( (B_n(-4)^n (1-4^n) ) / (2n) )x^(2n-1) なんていうに表せます. それでベルヌーイ数B_nというのは f(x)=x/(e^{x}-1) を冪級数展開したときの 上の(1)で定義される数列です B_0=-1 B_n=(-1)/(n+1) Σ_{i=0}^{n-1} (n+1 i) Bi ここで(n+1 i)は二項係数 ベルヌーイ数ってのは こういう関数の展開とかには結構よくでてくる 不思議な数列です

mitasshi
質問者

お礼

補足への回答ありがとうございます。 さすがにベルヌーイ数は、今回の問題に対する事前例題に説明すらありませんので、「n=3まで」=「手作業で到達できるところまで」という問題と解釈します。

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