マクローリン展開

質問

ｆ（ｘ）＝１／ｓｉｎｘ　をマクローリン展開せよ。

ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋（ｆ’（０）／１！）ｘ＋（ｆ’２（０）／２！）ｘ＾２＋・・・・
が定義だと思ったので、ｆ（０）を計算しようとしましたが、分母がsin０で困りました。この問題の場合マクローリン展開はどうすればよいのでしょうか。

回答No.4

proto · ベストアンサー

＞ｇ（ｘ）を一回微分したとき、やっぱり分母にｓｉｎ０がでてきて、うまくいかないようにおもいます。

確かにg'(x)も、単純にx=0を代入することは出来ない形になります。
具体的には
　　g'(x) = (sin(x)-x*cos(x))/((sin(x))^2)
となると思いますが、これもx=0のとき0/0型の不定形になるのでx→0での極限が存在する可能性があります。
実際、
　　lim[x→0]{g'(x)} = 0
となるので、g(0)をg(x)のx→0での極限で定義すればマクローリン展開の式に当てはめることが出来ます。

同様にg''(x)も、一般のn次導関数もx=0で不定形になりますがx→0での極限が存在するため、それらの極限を用いてx=0における値を定義すればマクローリン展開が可能ということです。

＞ローラン展開した場合でも
＞展開式に「1/x」の項が現れるため、x=0とおけず、f(0)も未定義になることは変わりありません。

#1さんの仰るように、f(0)が定義されないためにf(x)をマクローリン展開することはできません。
しかし、少しの工夫を加えるとマクローリン展開に変わるローラン展開をすることは出来ます。
私は、f(x)のマクローリン展開が可能である事を示したのではなく、マクローリン展開(テイラー展開)の発展としてのローラン展開をすることは可能であると言うことを具体的な方法とともに示しただけです。

x=0とおけるかどうかを調べる必要はありますが、x=0とおけないからといってそこで議論を終了する必要はありません。
また、f(0)が存在しないからといって、f(x)自体が全くの無意味になるわけではありません。
x≠0なる場合に着目すれば、f(x)にもf(x)のローラン展開にも充分に意味があります。
実際にf(x)をローラン展開した式はx=0の近く(ただしx≠0)でf(x)の値を与えます。

テイラー展開にしてもローラン展開にしても、x=aで展開したときのx=aにおける値だけが重要なのではありません。
x=aの近くでも同様に、展開した式が正しく機能するからこそ重要なのです。

何にしてもf(x)のマクローリン展開は出来ません。ローラン展開なら出来ます。
以上です。

お礼

マクローリンのとらえ方等、勉強を深めることができました。
何ができるのか、何はできないのか、そこでどう考えるのか等
いろいろな考えを示してもらいありがとうございます。

回答No.3

info22

#1です。

#2さんの言われることをやってもダメなものはダメで、
マクローリン展開はやはりできず、ローラン展開ならできるということです。
しかし
ローラン展開した場合でも
展開式に「1/x」の項が現れるため、x=0とおけず、f(0)も未定義になることは変わりありません。

参考)
g(x)=x/sin(x)(x≠0), g(x)=1(x=0)
で定義したg(x)のマクローリン展開
g(x)=1+(1/6)(x^2)+(7/360)(x^4)+(31/15120)(x^6)+(127/604800)(x^8)
+(73/3421440)(x^10)+...

(1/x)をかけて形式的にf(x)=(1/x)g(x)で計算した展開式（ローラン展開）
は
f(x)=(1/x)+(1/6)x+(7/360)(x^3)+(31/15120)(x^5)+(127/604800)(x^7)
+(73/3421440)(x^9)+...
となります。
f(0)が未定義なので、当然x=0とは置けませんね。

また、質問で書かれたマクローリン展開の定義式に該当した展開式では
表せない。つまりマクローリン展開できないことを意味します。

こういったことを含めて、A#1のように
f(x)＝1/sin(x)はマクローリン展開できない
と回答したわけです。

お礼

マクローリン展開について、考えを深めることができました。
ｘ＝０のときの取り扱いが、問題だということがよく分かりました。
ありがとうございました。

回答No.2

proto

たしかにf(x)=1/sin(x)はx=0で定義されないのでマクローリン展開することはできません。

しかし次のように変形してみてください
　　f(x) = 1/sin(x) = (1/x)*(x/sin(x))
右辺においてg(x)=x/sin(x)とすると
　　lim[x→0]{g(x)} = lim[x→0]{x/sin(x)} = 1
となり、これよりg(0)をx→0の極限として定義すれば、g(x)をx=0の周りでマクローリン展開することが出来ます。

g(x)が展開されたなら
　　f(x) = g(x)/x
という関係を用いて、g(x)の展開式をxで割ることで(全ての項の次数を1ずつ下げることで)f(x)が展開できます。

このようにして展開した式はx^(-1)の項を含むのでマクローリン展開ではなくローラン展開と呼ばれます。

補足

＞これよりg(0)をx→0の極限として定義すれば、g(x)をx=0の周りでマ　クローリン展開することが出来ます。
g(0)=1とするということでしょうか。
確かに、ｇ（ｘ）が展開できれば、ｘで割ればうまくいくと思います。ただ、ｇ（ｘ）の展開がやっぱり、うまくいかないように思います。
ｇ（ｘ）を一回微分したとき、やっぱり分母にｓｉｎ０がでてきて、うまくいかないようにおもいます。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22

x=0ではf(x)は発散しますのでf(x)が定義されていません。、
定義されていないx=0でのマクローリン展開は出来ません（展開不能）。
つまりマクローリン展開は存在しない。ということです。

sin(x)≠0となるxでのテーラー展開なら存在します。