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マクローリン展開
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- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
tan^(-1) x と書くから、arctan x と誤解されるんです。 cot x と書いたほうが安全です。 f ' (x) = -1/(sin x)^2 となるような f(x) を 考えているんですよね? cot x は、x = 0 に極を持ちますから、 x = 0 を中心にテーラー展開することはできません。 替わりに、ローラン展開すると良いでしょう。 オイラーの等式 e^ix = cos x + i sin x を使って変形すると、 x cot x = ix + 2ix/(e^2ix - 1) となりますが、右辺に現われる z/(e^z - 1) は整関数であり、ベルヌイ数の定義式 z/(e^z - 1) = 1 + Σ[n=1→∞] (B_n / n!)z^n が成立します。 z = 2ix を代入して整理すれば、 f(x) = 1/x + (xのベキ級数) という形に展開されます。 ベキ級数部分の係数は、このヒントに従って 自分で計算してみて下さい。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
f(x)=tan^(-1)(x)≡arctan(x) ですよ。 f'(x)=1/(1+x^2) x=0を代入できませんか? f''(x)=-2x/(1+x^2)^2 f'''(x)=2(3x^2-1)/(1*x^2)^3 ... などもx=0を代入できますよ?
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
>(y=tanxをy=xについており返せばよいのですぐ書けます。)X=0で傾きが無限大です。 傾き1だよ.0の近傍でtan(x)はxで近似できるんだから.
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
f(x)=tan^(-1)xと言ったらf(x)=arctanx(逆三角関数)を指すかと そうすれば f'(x)=1/(1+x^2) となります もしf(x)=1/tanxの意味ならそもそもマクローリン展開をする意味がありません
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
y=tan^(-1)xのグラフを書いて見てください。(y=tanxをy=xについており返せばよいのですぐ書けます。)X=0で傾きが無限大です。このようなところではマクローリン展開自体が無意味です。
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
tan^{-1}(x) って 1/tan(x) じゃないよ. 記号の定義をよく確認しましょう.
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