微分積分（大学） マクローリン展開

質問

微積分（大学） マクローリン展開
次の関数をマクローリン展開せよ。

（１） ｆ（ｘ）＝（sinx-x)/ｘ＾３

（２） ｆ（ｘ）＝ xcosx-sinx

級数Σ（ｎ＝２→∞）{１/ n(n-1)}x^nの関数をｆ（ｘ）とするとき、ｆ"(x)を求めることによって、ｆ（ｘ）を定めよ。

御教授宜しくお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

(1)
f(x)=（sinx-x)/ｘ＾３
=(x-x^3/3!+x^5/5!....-x)/x^3
=-1/3!+x^2/5!-x^4/7!-....
=Σ（ｎ＝1→∞）(-1)^n・x^(2n-2)/(2n+1)!

(2)
f(x)= xcosx-sinx
=x(1-x^2/2!+x^4/4!-...)-(x-x^3/3!+x^5/5!-...)
=-(1/2!-1/3!)x^3+(1/4!-1/5!)x^5-(1/6!-1/7!)x^7+...
=Σ（ｎ＝1→∞）(-1)^n・x^(2n+1)(1/(2n)!-1/(2n+1)!)

f(x)=Σ（ｎ＝２→∞）{１/ n(n-1)}x^n
f'(x)=Σ（ｎ＝２→∞）{n/ n(n-1)}x^(n-1)=Σ（ｎ＝２→∞）{1/ (n-1)}x^(n-1)
=Σ（ｎ＝1→∞）x^n/n

f''(x)=Σ（ｎ＝1→∞）nx^(n-1)/n=Σ（ｎ＝1→∞）x^(n-1)=Σ（ｎ＝1→∞）x^(n-1)=1+x+x^2+x^3+...
=1/(1-x)=-1/(x-1)

積分して
f'(x)=-log(1-x)+c
c=0を示すのはちょっと面倒。

f'(x)=-log(1-x) (｜x｜≦1,x≠1）
部分積分により積分して

f(x)=-[xlog(1-x)-∫x(-1/(1-x))dx]
=-xlog(1-x)-∫x/(1-x)dx
=-xlog(1-x)-∫[1/(1-x)-1]dx
=-xlog(1-x)-[-log(1-x)-x]+c
=x+log(1-x)-xlog(1-x)+c

息切れ、これまで

回答No.1

Tacosan

単純に実行するだけ, でしょ?