マクローリン展開微分問題
- マクローリン展開についての微分問題に関する質問です。
- f(x)=e^axとおいた場合の、(1)自然数nに対するf(x)のn次導関数、(2)f(x)のマクローリン展開、(3)Σ[n=N～∞]（（x^n）/（n-N）！）の級数の和の求め方についての質問です。
- f(x)=e^axのn次導関数はa^n・e^axで求められます。また、f(x)のマクローリン展開はe^ax=1+ax+（a^2/2！）x^2+（a^3/3！）x^3+・・・+（a^n/n！）x^nとなります。Σ[n=N～∞]（（x^n）/（n-N）！）の級数の和は具体的な式で表すことはできませんが、漸化式を用いて計算することができます。
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マクローリン展開 微分 問題
マクローリン展開 微分 問題 aを正の定数、eを自然対数の底とし、f(x)=e^axとおく。 (1)自然数nに対して、f(x)のn次導関数を求めよ。 (2)f(x)のマクローリン展開を求めよ。 (3)Nを自然数とするとき、Σ[n=N～∞]（（x^n）/（n-N）！） の級数の和を求めよ。 (1) f´(x)=a・e^ax f´´(x)=a^2・e^ax よって、d^n/dx^n（f(x)）=a^n・e^ax (2) e^axのマクローリン展開は、 e^ax=1+ax+（a^2/2！）x^2+（a^3/3！）x^3+・・・+（a^n/n！）x^n と解けました。答えは合っているでしょうか？ (3)については、どのように解けばよいのか分かりません・・・ (3)の解き方を詳しく教えて頂けないでしょうか？ ご回答、よろしくお願い致します。
- RY0U
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(1) OK (2)e^(ax)=1+ax+（a^2/2！）x^2+（a^3/3！）x^3+・・・+（a^n/n！）x^n + … または =1+ax+（a^2/2！）x^2+（a^3/3！）x^3+・・・+（a^n/n！）x^n + R(x^(n+1)) (3) Σ[n=N～∞]（（x^n）/（n-N）！） =(x^N) Σ[n=N～∞]（（x^(n-N))/（n-N）！） m=n-Nとおくと =(x^N) Σ[m=0～∞]（（x^m)/m！） (2)のa=1の場合の式を適用すると =(x^N) e^x
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- alice_44
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←A No.4 補足 (1) 数学的帰納法について、本当に調べたんですか？ (d/dx)^n f(x) = (a^n)(e^ax) が全ての自然数 n で成立つことを示すには、 この式が n = k で成立すると仮定すると n = k+1 でも成立することになる ことを示せばよいです。 (2) まづは、言われたことをやってみましょう。 g(x) = Σ[n=N～∞] (x^n)/(n-N)! と置き、N 回微分して g(x) の N 階導関数を求めてみてください。 解説は、その後で。
補足
ご回答ありがとうございます。 お礼が遅くなり申し訳ありません。 (1) （d/dx）のとき、 (d/dx)f(x)=a(e^ax) （d/dx）^kが成立するなら（d/dx）^(k+1)が成立する (d/dx)^(k+1)f(x)=a^(k+1)(e^ax) よって、数学的帰納法より(d/dx)^nf(x)のとき、 (d/dx)^nf(x)=a^n(e^ax) となる。 こんな感じでしょうか？ (2) g(x)=Σ[n=N～∞]（(x^n)/(n-N)!） g´(x)=Σ[n=N～∞]((n・x^n-1）/(n-N)!） g´´(x)=Σ[n=N～∞]((n・(n-1)・x^n-2）/(n-N)!） N階導関数は、 g^N(x)=Σ[n=N～∞]((n!・x^n-N）/(n-N)!） となりました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
←A No.1 補足 (1) 帰納法の基本事項については、 高校の教科書でも読みましょう。 貴方の書いた部分が、帰納法の漸化ステップです。 あとは、初期化ステップを書き添えてから、 まほうのことば「よって、数学的帰納法により」 で締めれば完了。 (3) 級数が一様収束であれば、項別に微分した 級数の和は、もとの級数の和の微分に一致する ことが知られています。これは、確認しないと。 問題の級数の場合、収束半径が∞なので、 収束円を意識する必要はないけれども。 ところで、N 回微分はやってみましたか？
補足
ご回答ありがとうございます。 (1)について、数学的帰納法を調べました。 まず、ｆ^(0)(x)=e^ax． f^(1)(x)=a・e^ax までは分かるのですが、 n階微分しても成り立つことを証明できません。 どのようにすれば、「よって、数学的帰納法により」 とかけるのでしょうか？ (3)N階微分やってみました。 （（x^n）/（（n-N）!））のN階微分をやってみたところ、 x^nをn階微分すると、分子にn!が出てくることは 分かったのですが、その先はどうすれば良いのでしょうか？
- info22_
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#2です。 A#2の「この回答へのお礼」について >(2)のR(x^(n+1))となんでしょうか？ 余剰項と呼ばれる項です。記述法は色々ありますが、x^(n+1)以上の項の和を纏めて書いたものです。言い換えれば e^(ax)とn次の項までのマクローリン展開との誤差項を式で表した関数形式で表記したものです。 [参考URL] 下記のR_[n+1], ０_[x]^(n+1)などと同じもの（意味合いは微妙に違いますが）です。 http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kiso3/taylor.pdf http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/PowerSeries.ja.html >（3）についても、分からない点があるので教えて下さい。 >Σ[n=N~∞]((x^n)/(n-N)!) >nがN～∞の範囲の総和をとると認識しています。 ここで、n=Nでは(n-N)!が0とはならないのでしょうか？ 階乗の定義により 0!=0,1!=1です。 >分母が0にはならないのでしょうか？ 階乗の定義により 0!=1なのでゼロにはなりません。
補足
ご回答ありがとうございます。 0!=1なんですね。知りませんでした・・・ 余剰項に関してですが、n次の項以上（誤差）を 考えなければ回答として不適当なのでしょうか？ また、Σ[n=0～∞]（x^n）/（n!）はe^xとなるようなのですが、 これもなぜe^xになるのか理解できません。 申し訳ないのですが、教えて頂けませんでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
(1)(2) 合ってる。 (1) は、正式には、帰納法を使うこと。 (3) 巾級数は、収束円内では広義一様収束するので、 項別微分することができる。 問題の級数を N 回微分してみると、答えが解る。 1 回微分する毎に x=0 を代入して、 積分してもとに戻すときの 初期条件を求めておくのを忘れないように。
補足
ご回答ありがとうございます。 (1)について、帰納法を使って示す場合はどの様にすれば良いのでしょうか？ (3)について、巾級数は、収束円内では広義一様収束 するとはどういうことですか？ 収束円内で広義一様収束しなければ項別に微分してはNG なのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
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