√(x^2+y^2)-xのマクローリン展開

質問

f(x,y) = √(x^2+y^2)-xのマクローリン展開がどのようになるか教えてください.
また, 条件y<<xを用いると, 式の解はy^2/2xとなりますか.

私なりに計算してみたのですが, 何か間違っている気がします.
アドバイスいただけたらうれしいです.

-------------------以下解き方の考え方------------------
2変数のマクローリン展開の場合,
f(x,y)=Σ(n=0から無限大) 1/n!(x) (x∂/∂x + y∂/∂y)^n f(0,0)
となると思っています。

偏微分の計算に関しては以下のようになりました.
∂f(0,0)/∂x = -1
∂f(0,0)/∂y = 0
x及びyによるf(0,0)の2階以降の偏微分はすべて0

したがって関数fのマクローリン展開は
f(x,y)=-x,,,,,,,明らかにおかしいですよね,,,,,,

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

y≪xということはx>0,y>0と考えて良いのですね．答がy^2/(2x)になっていることも考えると．

そうなら二変数ではなく一変数のマクローリン展開（この場合二項展開）で十分です．

√(x^2+y^2)-x=x{1+(y/x)^2}^{1/2}-x

ここで二項展開

(1+t)^α=1+αt+α(α-1)t^2/2+o(t^2)

でα=1/2，t=(y/x)^2とおいてtの一次までとります．

(1+(y/x)^2)^{1/2}≒1+(1/2)(y/x)^2

こうして

√(x^2+y^2)-x≒x{1+(1/2)(y/x)^2}-x=y^2/(2x)

となります．

※f(x,y)を偏微分すると

∂f(x,y)/∂x=x/√(x^2+y^2)-1
∂f(x,y)/∂y=y/√(x^2+y^2)

なので(x,y)=(ｒcosθ,rsinθ)を代入すると

∂f(x,y)/∂x=cosθ-1
∂f(x,y)/∂y=sinθ

これでr→+0としても不定になってしまいます．つまり(0,0)でf(x,y)は微分できず，マクローリン展開できないことになります．

お礼

迅速かつ的確な回答ありがとうございました!

本当に助かりました！！

ありがとうございました。