マクローリン展開について

質問

マクローリン展開について
テーラー展開で
y=√x+1を５次の項までをしたいのですが、
yの３回微分あたりからくしゃくしゃしてしまって出来ません。
どうか、ご教授お願いします。
この関数ではこういうこともできるよ！みたいな裏技みたいなものもあれば嬉しいです。

y'=1/2√x+1
y"=-1・(2√x+1)'/(2√x+1)^2
=-1/4(√x+1)^3

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

y = √(x + 1)はy = (x + 1)^(1/2)と解釈した方が良いです。

商の微分法は面倒臭いので、なるべく分数式は避けた方が良いです。
例えばy' = 1/2√x+1という風にするよりは
y' = (1/2)(x + 1)^(-1/2)とする方が良いです。
こうすればy''を計算するときに、わざわざ面倒な商の微分法を使わなくて済みます。

そうすると

y'' = (1/2)(-1/2)(x + 1)^(-3/2)
y''' = (1/2)(-1/2)(-3/2)(x + 1)^(-5/2)
y'''' = (1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)(x + 1)^(-7/2)

と楽に微分できます。

お礼

ありがとうございます。これなら僕でもできそうです！！