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マクローリン展開について

マクローリン展開について マクローリン展開の公式は覚えているのですが、実際にマクローリン展開しx^4の項まで求めよ、という問題が出ると解けません。 f(x)=sinxをx^4までマクローリン展開すると、答えがx-(x^3/3!)+・・・・となっていました。 x^4までとはどのように計算して行ったら上のような回答が出るのでしょう?

質問者が選んだベストアンサー

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  • info22_
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回答No.3

マクローリン展開の公式でx^4の項以下まで計算すれば言いということだから f(0)=sin(0)=0 f'(0)=cos(0)=1 f''(0)=-sin(0)=0 f'''(0)=-cos(0)=-1 f''''(0)=sin(0)=0 ここまで計算して代入すれば良いと言うことです。 これらを展開公式に代入すれば良いでしょう。 f''''(0)=0なのでx^4の項は消えるのでx^3の項までしか存在せず f(x)=sin(x)=x-(x^3/3!)+・・・ となるだろう。

t4m7k2
質問者

お礼

回答ありがとうございます 公式に突っ込みながらやったらできました。 1つ質問なのですが、fx=sinx/xをgx=sinxのマクローリン展開を利用して求めろとあったのですが、この場合はどうなるのでしょう?

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その他の回答 (5)

  • alice_44
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回答No.6

最初の質問についてですが、 「x^4 までマクローリン展開せよ」と言われたら、 sin x = x - (x^3/3!) + … などとは書かないで、 「x^4 まで展開した」ことを明示するように、 sin x = x - (x^3/3!) + o(x^4) とか、 sin x = x - (x^3/3!) + (1/5!)(cos c)x^5 とか、 sin x = x - (x^3/3!) + (1/4!)(cos θx){(1-θ)^4}(x^5) とか、 sin x = x - (x^3/3!) + (1/4!)∫[t=0…x](cos t)(t^4)dt とか、 何らかの形で、剰余項を付けて書くとよいでしょう。 そうすれば、x^4 の係数が 0 になっていることは 一目瞭然です。

t4m7k2
質問者

お礼

回答ありがとうございます これからはそのように書いていきたと思います。

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.5

#3です。 A#3の補足の質問について >1つ質問なのですが、fx=sinx/xをgx=sinxのマクローリン展開を利用して求めろとあったのですが、この場合はどうなるのでしょう? g(x)=sin(x)=x-(x^3)/6+(x^5)/120+... これをxで割れば f(x)=sin(x)/xのマクローリン展開になります。 しかし、f(x)をx^4の項まで求めよ」という問題であれば g(x)は上の式のようにx^5の項までマクローリン展開しておかないといけないね。 そうすれば f(x)=sin(x)/x = (1/x){x-(x^3)/6+(x^5)/120 + … } = 1-(x^2)/6 +(x^4)/120+ …

t4m7k2
質問者

お礼

回答ありがとうございます 詳しく教えていただき助かります。

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noname#117170
noname#117170
回答No.4

>>fx=sinx/xをgx=sinxのマクローリン展開を利用して求めろとあったのですが、この場合はどうなるのでしょう? まだまだ考える力が欠けているな。 もっと頭使わなきゃ。gx=sinxをxで割れ!

t4m7k2
質問者

お礼

回答ありがとうございます xで割ってしまえばよいのですか。

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  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)
回答No.2

見方を変えれば x - (x^3/3!) = x + (0・x^2) - (x^3/3!) + (0・x^4) + … となります。 > x^4までとはどのように計算して行ったら上のような回答が出るのでしょう? x^4の項の係数が0になってしまう関数もあるので、 それはそのまま答えればよいと思います。 今回の場合、x - (x^3/3!) + …で十分だと思います。

t4m7k2
質問者

お礼

回答ありがとうございます 少し考えたらわかりました。 x^4のところは係数が0なのでそのままでいいのですね。

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noname#117170
noname#117170
回答No.1

x^4がないどうしよう。 0=0×x^4ということさえにも気付かんかな。

t4m7k2
質問者

お礼

回答ありがとうございます 少し考えたらわかりました。

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