- 締切済み
マクローリン展開
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
みんなの回答
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
> f' (x)=2x → f(0)=2 > f''(x)=2 → f(0)=2 > f'''(x)=0 → f(0)=0 f' (x) = 2x → f'(0) = 2 f''(x) = 2 → f''(0) = 2 f'''(x) = 0 → f'''(0) = 0 と書きたかったのでしょうか？ そうだとすると、一番最初のf'(x)の部分が違います。 f' (x) = 2x → f'(0) = 0 です。 > ここで第3項目 > R3(x)= f'''(θx)x^3/3! あたりから > 解答に曖昧な点があります。 > よろしくお願いします。 R3(x)がどんな式になるかということでしょうか？ f'''(x) = 0なので、f'''(θx) = 0です。 すると、 R3(x) = f'''(θx)x^3 / 3! = 0 × x^3 / 3! = 0 となります。 結局x^2をn = 3でマクローリン展開しても、 x^2のままということになります。
f(x)≒0+(1/1!)x + (2/2!)x^2 + (0/3!)x^3 + (0/4!)x^4 +…… これでいいのではないでしょうか？
関連するQ&A
- マクローリン展開について
マクローリン展開について 以前あるサイトで質問したのですが、その回答がよくわからなかったのでこちらで質問します。 1/1-x についての級数展開の質問になります。 1/1-xをマクローリン展開すると、1+x+x^2+x^3+x^n+・・・・とないっていきますが、この時の収束がわかりません。 以前質問したときにこんな回答がありました。 f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n! Sm(x)=Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n!=Σ[n=0,m-1]x^n (級数Σ[n=0,∞]x^nのm部分和) f(x)にマクローリンの定理を適用したときの剰余項をRm(x)とすると f(x)=Sm(x)+Rm(x) と表わせる。 |Rm(x)|=|Sm(x)-f(x)| =|Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n! -1/(1-x)| =|Σ[n=0,m-1] x^n - 1/(1-x)| =|(1-x^m) / (1-x) - 1/(1-x)| =|x^m/(1-x)|…☆ しかし、f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n!というのが分かりません。 どこからこのような式はでてくるのでしょうか？ また、剰余項というのは、級数は無限には実際計算できないわけで、例えばn=５とかで計算を終わらせる必要がありますが、 その時n=6以降の項は切り捨てることになります。 その切り捨てた項が剰余項となるのでしょうか？ 余った項とかくので。 収束条件と剰余項がどういう関係があるのかはいまいちわかりませんが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テーラー展開（マクローリン展開）について
テーラー展開についての質問です。 問題=============================================== 1/cos x のx=0を中心とするテーラー展開を4次の項まで求めよ。 =============================================== この問題の解答例として、以下のような解説があったのですが、 わからない点が有ります。 <解答例> cos x のマクローリン展開は、 cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! + … ( |x| < + ∞）であるから、 1/cos x = 1/( 1 - x^2/2! + x^4/4! + …) ここで、 1/(1 - x) のマクローリン展開が Σ{n=0→+∞} x^n で与えられるので、 これを利用して、 1/cos x = 1 + (x^2/2! - x^4/4! +…) + (x^2/2! - x^4/4! + … )^2 + … ー(1) = 1 + x^2/2 + 5x^4/25 +… ー(2) となる。 ここで疑問なのは、 1/(1 - x) のマクローリン展開は、|x|<1 の条件が成り立つ時に限り収束するので、 適用できるわけじゃないですか？ (1)から(2)のような形にする場合に、 |(x^2/2! - x^4/4! +…)| < 1 となっていないのに、このような展開をしてもいいのでしょうか？ 具体的には、cos x は xの値によって -1 <= cos x <= 1 まで取り得るので、 cos x のマクローリン展開の初項が1ということは、 それ以下の項の和がxの値次第で -2程度になることも考えられると思うので このような展開をしてはいけないと思うのです。 当方 テーラー展開についてよく熟知していないため、 ご指導お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- マクローリンの定理が分かりません！！
マクローリンの定理について、よく分からない部分があります。 次の関数にマクローリンの定理を適用した場合、どうなるのでしょうか？？ f(x)=(1+x)＾α f(x)=log(1+x) f(x)=1/√(1+x) f(x)=√(1+x) f(x)=e＾(2x) ただ、２番目のf(x)=log(1+x)について、自分で解いたものと、ある問題の解答と見比べてみたのですが・・・ 解答・・・log(1+x)=x - x＾2/2 + x＾3/3 + … + (-1)＾(n-2)x＾(n-1)/n-1 + (-1)＾(n-1)x＾n/n(1+θ)＾n となっていました。 でも、自分で解いたら、最後の項（nの項）が (-1)＾(n-1)x＾n/n(1+θx)＾n と、θの前にxがついてしまいます。 この解答は、たまにミスプリントがあるので、本当がどうなのかわかりません。もし、この解答があっているなら、どうしてxが消えるのでしょうか？ いそいでいるので、早く回答いただけると助かります。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- マクローリンの級数展開について
f(x) = log( 1 + 1/x ) をマクローリンの級数展開しようと思ったのですが、 中心を0として計算しようとしたところ、 f(x), f'(x) 等に０で割る計算が出てきてしまうので、 どうしたら良いのかがわかりません。 この問題の解答を見たところ、 log(1+t)のマクローリン展開をt=(1/x)と代入する との事ですが、確かにこれでも良さそうな気がするのですが、 この場合は、t=0を中心として展開しているので、 結局はx=∞を中心として展開しているように見えて、 いまいち納得できません。 どなたか、以上の疑問にご回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- マクローリン展開について
マクローリン展開について マクローリン展開の公式は覚えているのですが、実際にマクローリン展開しx^4の項まで求めよ、という問題が出ると解けません。 f(x)=sinxをx^4までマクローリン展開すると、答えがx-(x^3/3!)+・・・・となっていました。 x^4までとはどのように計算して行ったら上のような回答が出るのでしょう？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- マクローリン展開の問題について
いまいち納得いかない問題があるので質問です。 √(1+x)のマクローリン展開は =1+1/2x-1/(2*4)x^2+・・・+(-1)^(n-1){(1*3・・・(2n-3)}*x^n/{(2*4・・(2n)}となると書いてあるります。確かに自分で拡張された二項定理から求めた一般式と↑の一般式は一致するのですが、 一般式のｎにn=1,n=2・・・を代入して得られる値と、第二項、第三項・・の値は符号が逆になってしまいます。 これが何故こうなるのか納得できません。 どなたかご解答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
早速、ご回答頂きありがとうございます。 この質問の数分後、 間違いに気づきまして同タイトルで別質問をし こちらの様な結論へ至りました。 どうもありがとうございました。