マクローリン展開と複素積分

質問

複素関数f(z)=tan(z)について、
(1)f(z)の3次の項までのマクローリン級数を求めよ。
(2)((f(z))^3の5次の項までのマクローリン級数を求めよ。
(3)|z|=1の積分路で((f(z))^(-3)の複素積分をせよ。
という問題を解いていたのですが、(2)を解いたとき、f(z)をそのまま5回微分して求めた結果が、(1)の結果を3乗したものと一致していました。つまり(2)は(1)の結果を使って解く問題だと思ったのですが、こうなった理由が分からず悩んでいます。(3)も(2)の結果を使って解くと思うのですが、なぜ途中までしか展開していないものをほかの計算で使えるのか教えてください。

回答No.2

info22_

(1)
マクローリン展開の公式にf(z)=tan(z)のf(0),f'(0),f''(0),f'''(0)を計算して代入すればよい。
f(z)=z+(1/3)z^3+ …

f(z)=z+(1/3)z^3+(f^(5)(c)/5!) z^5 (0<∃c<z)
3項目は余剰項でA(定数）とおくと
　　=z+(1/3)z^3+A z^5
とも書ける。

(2)
(f(z))^3=z^3+z^5+ …

g(z)=(f(z))^3とおくと
g(z)=z^3+z^5+(g^(7)(c)/7!) z^7 (0<∃c<z)
3項目は余剰項でg^(7)(c)/7!=B(定数）…（★）とおくと
　　=z^3+z^5+B z^7
とも書ける。

>つまり(2)は(1)の結果を使って解く問題だと思ったのですが、こうなった理由が分からず悩んでいます。

(f(z))^3=(z+(1/3)z^3+A z^5)^3
　 = z^3 (1+(1/3)z^2+A z^4)^3
= z^3 (1+(1/3)z^2+A z^4)(1+(1/3)z^2+A z^4)(1+(1/3)z^2+A z^4)
=z^3 (1+z^2+(3A+(1/3))z^4+(2A+(1/27))z^6+A(3A+(1/3))z^8+A^2 z^10+A^3 z^12)
=z^3+z^5+(3A+(1/3))z^7+(2A+(1/27))z^9+A(3A+(1/3))z^11+A^2 z^13+A^3 z^15)
=z^3+z^5+B z^7
(3項目は（★）の余剰項に該当します。)
これを簡単に
(f(z))^3=z^3+z^5+ …
とも書きます。

(3)
((f(z))^(-3)の特異点を求めると
　tan(z)の零点に一致するから
　tan(z)=tan(x+iy)=(sin(2x)+sinh(2y))/(cosh(2y)+cos(2x))=0　より
　sin(2x)=sinh(2y)=0　∴x=nπ/2(n=整数),y=0
z=nπ/2(n=整数)
|z|=1の円内の特異点は z=0のみ
(2)より
((f(z))^(-3)=1/(z^3+z^5+ …)=z^(-3)/(1+z^2+ …)
=(z^(-3))(1-z^2+ …)
=z^(-3)-z^(-1)+ …
>(3)も(2)の結果を使って解くと思うのですが、なぜ途中までしか展開していないものをほかの計算で使えるのか

要は、ローラン展開のz^(-1)の係数である留数を求めるだけの展開項が分かれば複素積分が求まるというのが、粗っぽいですが問題作成者の考えでしょう。

z=0における留数は z^(-1)=1/z　の係数から　Res(0)=-1
したがって留数定理により
∫[C:|z|=1の円周を反時計回りに１周する積分路] ((f(z))^(-3) dz
=2πi*Res(0)=-2πi

お礼

マクローリン展開は剰余項まで考えて計算するのですね。展開を途中で止めた物だと思い、悩んでいました。回答ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

マクローリン展開を、剰余項を付けて tan z = z + (1/3)z^3 + O(z^5) と書けば、
(tan z)^3 = { z + (1/3)z^3 + O(z^5) }^3
= z^3 + z^5 + (1/3)z^7 + (1/27)z^9 + z・O(z^5)・{ 省略 }　と展開できて、
(1/3)z^7 + (1/27)z^9 + z・O(z^5)・{ 省略 } の部分が O(z^6) であることが判る。
問題文に「3次の項までのマクローリン級数」とあるのが秀逸で、展開を
3次項までの有限マクローリン展開でなく、マクローリン級数の3次項までを明示したもの
と見ることで、(1)から(2)への操作が思い浮かぶようになっている。
掛け算と同様に、割り算でもこの操作が行えるので、
(3)も(2)と同様に処理することができるし、そもそも(1)を
(sin z のマクローリン展開)÷(cos z のマクローリン展開) で求めることができる。

お礼

つまりtan z を剰余項まで考えてから3乗しても、(tan z)^3の5次の項までには値に影響が無いということですね。回答ありがとうございました。