積分の問題で分からないことがあります。

質問

{2-sinx+(sinx)^2}/cosxをπ/6から0で積分しろという問題でt=sinxと変数変換するということはどのようにして決められるのですか。また、√(a^2-x^2)をaから0で積分する問題でx=a*sintと変換する訳も出来ればお教え下さい。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>t=sinxと変数変換するということはどのようにして決められるのですか。
>x=a*sintと変換する訳も出来ればお教え下さい。

お書きの変数変換は、積分の研究を研究してきた過去の数学者（先輩）達がこうすれば積分できると試行錯誤して見つけ積み上げてきた方法です。それらの置換法は今では積分の変数変換の定石となっているのです。
従って、多くの変数変換の定石を覚えることで、積分の実力が付きます。

なぜそう変数変換をするのかは、「そう変数変換すると積分が出来るから」が理由ですね。

お書きの変数変換して積分してみてください。うまく積分できますから...
うまく積分できたら、その積分のタイプでは、いまの変数変換をすればよい。と覚えるようにします。

なお
>π/6から0で積分しろという問題
>aから0で積分する問題
この書き方は、積分の下限と上限が逆になって、正しい表現ではありませんね。
「0からπ/6まで積分する問題」
「0からaまで積分する問題」
などと書かないとダメですね。

回答No.3

alice_38

因みに、「π/6 から 0 まで積分」でも、
問題として、ちゃんと成立します。
「0 から π/6 まで積分」とは、
値が違いますが。
どちらの問題かは、惰性で決めてしまわないで、
もとの問題を確認すべきです。

回答No.2

alice_38

そのように置換すると
たまたま上手くいくだけで、
そう置換するものと決まっている
わけではありません。

例えば、
一つめの積分は t = tan(x/2) でもよいし、
二つめの積分は x = a(exp(t) - exp(-t))/2 でもよい。
いろいろ工夫してみることです。