定積分の問題を教えてください。

質問

次の問題の答えを教えてください。
１．
(a)∫(0から１）dx/1+x^2 (b)∫(0から2）x^2ex^3dx

(c)∫(0からπ)xcosxdx (d)∫(αからβ)(x-α)(x-β)^3dx (α、βは定数）

(e)∫(0から1)(1+x)√1-x^2dx (x=sintと置き換える）　(f)∫(π/3からπ/2)dx/sinx (cosx=tと置き換える）

２．定積分∫（0からa)√a^2-x^2dxを計算し、半径a(>0)の円の面積がπa^2であることを示せ。

お願いします。

回答No.1

Mr_Holland

1(a)　置換積分：　x=tanθ と置きます。
dx=(cosθ)^2 dθ, x=0のときθ=0, x=1のときθ=π/4
　公式 1+(tanθ)^2 =1/(cosθ)^2 を利用すると
　　∫[x=0→1] dx/(1+x^2)
=∫[θ=0→π/4] dθ/[(cosθ)^2 {1+(tanθ)^2}
=∫[θ=0→π/4] dθ
=π/4

1(b)　置換積分：　t=x^3 とおきます。
　dt=3x^2 dx, x=0のときt=0, x=2のときt=8
　　∫[x=0→2] x^2*exp(x^3)dx
=∫[t=0→8] exp(t)*(dt/3)
=(1/3)(e^8-1)

1(c)　部分積分（xとcos(x)で）
　　∫[x=0→π] x*cos(x)dx
=[x*sin(x)][x=0→π] -∫[x=0→π] sin(x)dx
=0-[-cos(x)][x=0→π]
=-2

1(d)　部分積分（(x-α)と(x-β)^3で）
　　∫[x=α→β] (x-α)(x-β)^3 dx
=[(x-α)*{(1/4)(x-β)^4}][x=α→β] -∫[x=α→β] (1/4)(x-β)^4 dx
=0-(1/4)[(1/5)(x-β)^5][x=α→β]
=(1/20)(α-β)^5

1(e)　置換積分：　x=sin(t)（ヒント通り）、cos(t)=y
　dx=cos(t)dt, x=0のときt=0, x=1のときt=π/2
　-sin(t)dt=dy, t=0のときy=1, t=π/2のときy=0
　利用公式：　0≦t≦π/2 で　1-sin(t)^2=cos(t)
　　　　　　　半角の公式　cos(t)^2={1+cos(2t)}/2
　　∫[x=0→1] (1+x)√(1-x^2) dx
=∫[t=0→π/2] {1+sin(t)}√{1-sin(t)^2} cos(t)dt
=∫[t=0→π/2] {cos(t)^2+sin(t)cos(t)^2}dt
=∫[t=0→π/2] {1+cos(2t)}/2 dt +∫[y=0→1] y^2 dy
=[(1/2){t+sin(2t)/2}][t=0→π/2] +[(1/3)y^3][y=0→1]
=π/4+1/3

1(f)　置換積分：　cos(x)=t（ヒント通り）
　-sin(x)dx=dt, x=π/3のときt=1/2, x=π/2のときt=0
　　∫[x=π/3→π/2] dx/sin(x)
=∫[t=0→1/2] dt/(1-t^2)　　　　（∵　sin(x)^2=1-cos(x)^2=1-t^2　）
=∫[t=0→1/2] (1/2){1/(1-t)+(1/(1+t)} dt　　（∵　部分分数分解　1/(1-t^2)=1/(1-t)+1/(1+t)　）
=(1/2)[log|(1+t)/(1-t)][t=0→1/2]
=(1/2)log(3)

2. 定積分∫[x=0→a] √(a^2-x^2) dx は半径a(>0)の円を4等部分にしたものの面積です。
　置換積分（x=a*sin(t)）を使って定積分を求めます。
　dx=a*cos(t)dt, x=0のときt=0, x=aのときt=π/2
　　∫[x=0→a] √(a^2-x^2) dx
=∫[t=0→π/2] a*cos(t) a*cos(t)dt
=a^2*∫[t=0→π/2] cos(t)^2 dt
=a^2*∫[t=0→π/2] {1+cos(2t)}/2 dt　　　　（∵　半角の公式）
=a^2*π/4
=πa^2/4

　従って、半径a(>0)の円の面積は、定積分を4倍したものに等しいので、　πa^2