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不定積分の問題
不定積分の問題です。ｍを自然数とするとき、 ｎ (1)∫(cosx)^(2m-1)dx＝Σa(k)(sinx)^k+C k=1 (Cは積分定数） （a(k)のｋは添え字です。） を満たす自然数ｎおよび実数a(k)（k=1,2,…,n)を求めよ。 (2)f(t)を多項式とするとき、 ∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dx＝g(sinx)+C (Cは積分定数） を満たす多項式ｇ(t)が存在することを示せ。 という問題です。 （１）はｎ＝２ｍ－１ a(k)＝０（ｋ＝2.4.…ｎ－１） （ｋ＝1,3,…ｎ）のときは式が複雑なので記載するのは控えます。 分からないのは（２）で解答には ｎ f(t)＝Σb(k)t^k とおけるので、ｎ＝２L－１とおくと k=0 L f(t)-f(-ｔ）=Σ２ｂ(2m-1)t^(2m-1) m=1 となっているんですが、なぜ ｎ＝２L－１とおくのか、f(t)-f(-ｔ）の右辺のΣのｍが１→L なのかがわかりません。 宜しくお願いします。
- freedomshu
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- yumisamisiidesu
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(1)よりf(x)がどんな多項式関数でも ∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dxはsinxの奇数次になることが言えます. ∵ ∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dx = ∫(f(cosx)－f(－cosx))dx ここでf(x)=Σa(k)x^k (k=0,…,2n a(2n)≠0 or a(2n-1)≠0 )とすると ∫(f(cosx)－f(－cosx))dx = ∫(Σ2a(k)(cosx)^k)dx (但しk=1,3,…,2n-1) = 2Σ∫(a(k)(cosx)^k)dx i.e. この式は(1)よりsinxの奇数次の多項式の和で表せる 上で奇数次になる証明の中で(2)も示されたと思います.
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