不定積分の問題

2023/08/03 14:19

このQ&Aのポイント

不定積分の問題です。ｍを自然数とするとき、(1)∫(cosx)^(2m-1)dx＝Σa(k)(sinx)^k+Cを満たす自然数ｎおよび実数a(k)を求めよ。
(2)f(t)を多項式とするとき、∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dx＝g(sinx)+Cを満たす多項式ｇ(t)が存在することを示せ。
この問題では、不定積分に関する２つの問題が出題されています。まず、ｍを自然数としたときの不定積分の問題が与えられており、自然数ｎおよび実数a(k)を求めることが求められています。次に、多項式f(t)を用いた不定積分の問題が出題されており、多項式ｇ(t)の存在を示すことが求められています。

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不定積分の問題

2006/07/24 21:33

不定積分の問題です。ｍを自然数とするとき、　　　　　　　　　　　　　　ｎ　　　　　　 (1)∫(cosx)^(2m-1)dx＝Σa(k)(sinx)^k+C　　　　　　　　　　　　　　　k=1 (Cは積分定数）　（a(k)のｋは添え字です。）を満たす自然数ｎおよび実数a(k)（k=1,2,…,n)を求めよ。 (2)f(t)を多項式とするとき、 ∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dx＝g(sinx)+C (Cは積分定数）を満たす多項式ｇ(t)が存在することを示せ。という問題です。（１）はｎ＝２ｍ－１　　　　a(k)＝０（ｋ＝2.4.…ｎ－１）　　　　　　　（ｋ＝1,3,…ｎ）のときは式が複雑なので記載するのは控えます。分からないのは（２）で解答には　　　　ｎ f(t)＝Σb(k)t^k とおけるので、ｎ＝２L－１とおくと　　　k=0 　　　　　　 L f(t)-f(-ｔ）=Σ２ｂ(2m-1)t^(2m-1) 　　　　　m=1 となっているんですが、なぜｎ＝２L－１とおくのか、f(t)-f(-ｔ）の右辺のΣのｍが１→L　なのかがわかりません。宜しくお願いします。

freedomshu
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数学・算数
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yumisamisiidesu
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2006/07/25 01:37 回答No.1

(1)よりf(x)がどんな多項式関数でも ∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dxはsinxの奇数次になることが言えます. ∵ 　∫f(cosx)dx－∫f(－cosx)dx = ∫(f(cosx)－f(－cosx))dx ここでf(x)=Σa(k)x^k (k=0,…,2n a(2n)≠0 or a(2n-1)≠0 )とすると　∫(f(cosx)－f(－cosx))dx = ∫(Σ2a(k)(cosx)^k)dx (但しk=1,3,…,2n-1) = 2Σ∫(a(k)(cosx)^k)dx i.e. この式は(1)よりsinxの奇数次の多項式の和で表せる上で奇数次になる証明の中で(2)も示されたと思います.

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