- 締切済み
【不定積分】全10問解答お願いします※1問からも可
数学がとても苦手で全然解法が思いつきません。 下の問題がわかる方はお願いします。 次の不定積分を求めよ。ただし、a>0とする。 (1)x^2/1+x^6 答え tan^-1x^3/3 (2)x/√4-x^4 答え sin^-1(x^2/2)/2 (3)1/cos^4x 答え tanx+tan^3/3 (4)1/√(a^2 +x^2)^3 答え x/a^2√(a^2+x^2) (5)1/(x^2+1)^2 答え (tan^-1 x)/2+x/2(1+x^2) (6)x^3√1-x^2 答え -(3x^2 +2)√(1-x^2)^3/15 (7)x^2 tan^-1 x 答え {2x^3 tan^-1 x -x^2+log(1+x^2)} (8)xtan^2 x 答え xtanx-x^2/2 +log|cosx| (9)x^2 -1/x^4 +1 答え 1/2√2 * log(x^2 -√2 x+1)/x^2 +√2 x+1) (10)(x-1)^2/(x^2 +1)^2 答え tan^-1 x +1/x^2+1 という問題10問です。 教科書の後ろに答えだけはのっていたので、 参考にしてください。 全部じゃないけど何問かならわかるという方も 回答していただけたらと思います。
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
みんなの回答
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
式を良く観察して、置換積分してみたらどうですか? (1) x^3=t とおくと (tan^-1(t))'=1/(1+t^2) の公式が見えてきませんか? (2) x^2=2t とおくと (sin^-1(t))'=1/√(1-t^2)の公式が見えてきませんか? (3) 1/cos^4(x)={1/cos^2(x)}+{(1-cos^2(x))/cos^4(x)} ={1/cos^2(x)}+{(sin^2(x))/cos^4(x)} =1/cos^2(x)}+(tan^2(x)){1/cos^2(x)} と変形すれば (tan(x))'=1/cos^2(x)の公式が見えてきませんか? (4) (a^2 +x^2)=t と置換すると積分できませんか? 先ずはここまでやってみて下さい。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
例えば (1) の答に x^3 があるよね. これがどうしてでてくるのか, もとの関数と比較して考えた? もっとも, (1) に関しては部分分数に分解できるので (これくらいはできるよね?) 強引に積分したっていい. 結果の式は (1) の答とは全然違うが, 微分してみれば確かにもとに戻ることは確認できる.
お礼
回答ありがとうございました。 やってみます。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
答の方からなんとかしようというつもりはないの?
お礼
他の13題は詰まったら答を微分してみて、 なんとかなった問題はあるのですが この10題はできませんでした。 私の学力不足です。 ご指摘ありがとうございます。
関連するQ&A
- 不定積分の問題
不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫Tan^(-1)(x)dx (3)∫Sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + C (2) xTan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + C (3) xSin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + C (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + C
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (至急)数学の不定積分の問題
以下の不定積分を求めて下さい。 途中の式もお願いします。 (1)∫√(e^x-1)dx (2)∫x/cos^2xdx 答え (1)2{√(e^x-1)-tan^-1√(e^x-1)} (2)xtanx+log(cos ←すいません、ここは文字が見えませんでした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分できる!
質問サイトなのにタイトルが肯定文なところに惹かれて来てくだっさたあなたに質問です。 私は基本的な不定積分(高校くらいまでで∧難しすぎないもの)ならできるつもりです。 しかし、三角関数の不定積分がよくわかりません。 たとえば、次の関数の不定積分を求めよ。(xは省略) ア) tan/cos , イ) cos^4 , ウ) 1/sin , エ) (tan/cos)^2 , オ) tan^4 , カ) 1/cos^4 きっとどうせ、置換積分法か部分積分法か式変形の組合せで解くのだと思いますが、三角関数の不定積分は紛らわしいです。 問題の式をちょっと見ただけですぐに解法が思いつくにはどうすればいいのでしょうか。 (別にアからカの答えを聞いているわけではありません。一応なんとか解けます)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫xtan^-1xdxの不定積分
∫xtan^-1xdxの不定積分の問題なんです。 以下のように解いて見たんですが ∫xtan^-1xdxにおいて x=tan(t)とおく,dx=(1/cos^2t)dtとする時 ∫xtan^-1xdx =∫{tan(t)/cos^2t}dt =-∫{t(cost)/cos^3t}dt =t/2cos^2t-1/2∫(1/cos^2t)dt =t/cos^2t-1/2tan(t)+C =1/2{(x^2+1)tan^-1x-x}+C と解いてみたんですが,途中式等あってますかね? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【定積分】全9問解き方教えて下さい※1問のみでも可
定積分の問題が解き方がわかりません。 教科書には答えだけがのっており、 数学が苦手な私は全然解き方が思いつきません。 【∫↑ ~ ∫↓】…定積分の範囲 (1) 【2π~0】 ∫cos^2x sin^2x dx 答え π/4 (2)【π/2~0】 ∫sin^4x dx 答え 3π/16 (3)【π~0】 ∫x^2 sin^2 dx 答え π(2π^2 -3)/12 (4)【π~0】 ∫√(1+cosx) dx 答え 2√2 (5)【2~0】 ∫x^2√(2x-x^2) dx 答え 5π/8 (6)【π/2~0】 ∫1/(4+5sinx) dx 答え log2/3 (7)【π/4~0】 ∫1/(1+2sin^2x) dx 答え π/3√3 (8)【2~1】 ∫1/√(x^2 -1) dx 答え log(2+√3) (9)【2~0】 ∫1/√(x(2-x)) dx 答え π 答えは解くときの参考にしてもらえたらと思います。 全部は解けないけど何問かはわかる、という方も 解答をお願いします。 初めての質問で至らない点もあるかと思いますが よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、
積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、 自分なりに解いた答えと、皆さんの答えが違っていました。 どこが違うのか、考え方が違うのか教えてください。 ※パソコンでの書き方が慣れていないため、かっこの付け方や 途中式で見ずらいものがあると思います。お許しください。 次の定積分を求めよ。 (1)∫(0~π/2)sin^2xcos^3xdx =∫(0~π/2)sin^2(1-sin^2)cosxdx =∫(0~π/2)(sin^2-sin^4)cosxdx =∫(0~π/2)sin^2(cosx)-sin^4(cosx)dx =[(1/3)sin^3x-(1/5)sin^5x](0~π/2) =(1/3-1/5)-0 =2/15 (2)∫(0~1)xtan^-1xdx t=tan^-1xとおくとx:0→1のときt:0→π/4 x=tant dx=1/(cos^2t)dt ∫(0~1)xtan^-1xdx =∫(0~π/4)tant/cos^2tdt =∫(0~π/4)(sint/cost)(1/cos^2t)dt =∫(0~π/4)sint/cos^3tdt =∫(0~π/4)(cos^-3t)(sint)dt =[(1/2)cos^-2(t)](0~π/4) =(1/2)(1/(1/√2)^2)-(1/2)(1/(1^2) =1-(1/2)=1/2 と解きました。長くなりましたが、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分
毎度すみません。参考書の積分の問題を解いているのですが、答えが不確かなもので質問させて頂きます。 ・∫tan^2x dx t = tanx と置くと 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} dt/dx = 1/cos^2x , dx = cos^2x dt 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} X cos^2x dt = ∫(tan^2x) 2tanx dt = 2∫t^3 dt = 2 X t^4/4 = tan^4x /2 ・∫1/(x^2 + 2x + 5) dx =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) dx dt/dx = 2x + 2 dx = 1/(2x + 2) dt 与式 =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) X 1/(2x + 2) dt =log|x^2 + 2x + 5| 一応自分で解いてみたのですが、誤った記述がありましたらご指摘頂けると有難いです。また、答えを導く際、他に簡単な方法等ありましたら、教えて頂けたら嬉しいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分は途中経過によって結果が変わりますか?
(1)x/(2x+3)^2 (2)(tan x)^3 を積分せよ.という問題で,解答と自分の答えがありません. (1)=x*{-1/2(2x+3)}'より部分積分の方法を用いて -x/{2(2x+3)}+log|2x+3|/4+C と出しました. しかし,問題集の解答(2x+3=tとする方法)には {log|2x+3|+3/(2x+3)}/4+C とありました. (2)=(sin x)^2*{1/2(cos x)^2}'より部分積分を用いて {(tan x)^2}/2+log|cos x|+C と出しました しかし,問題集の解答((sin x)^2=1-(cos x)^2とする方法)には log|cos x|+1/{2(cos x)^2}+Cとありました. どちらの問題のどちらの答えも微分すると(1),(2)に戻るのですが,どちらも正解ですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 やってみます。