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不定積分の問題

不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫Tan^(-1)(x)dx (3)∫Sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + C (2) xTan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + C (3) xSin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + C (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + C

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  • alice_44
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(1) 部分積分は、 ∫ x sec^2(x) dx = x tan(x) - ∫ tan(x) dx ですよね。 x tan(x) の x を微分すると tan(x) が、 tan(x) を微分すると x sec^2(x) が出て、 積の微分法で x tan(x) = ∫ tan(x) dx + ∫ x sec^2(x) dx ですから。 ∫ tan(x) dx が解らないのかな? = ∫ sin(x)/cos(x) dx = ∫ { 1/cos(x) } { dcos(x)/dx } dx = log |cos(x)| です。 (2) 部分積分は、 ∫ Tan^(-1)(x) dx = x Tan^(-1)(x) - ∫ x { dTan^(-1)(x)/dx } dx です。 y = Tan^(-1)(x) と置けば、 x = tan(y) より dx/dy = sec^2(y) = 1 + tan^2(y) なので、dTan^(-1)(x)/dx = dy/dx = 1/(1 + x^2). ∫ x/(1 + x^2) dx の積分は、u = 1 + x^2 と置けば簡単でしょう。 (3) 部分積分は、 ∫ Sin^(-1)(x/3) dx = x Sin^(-1)(x/3) - ∫ x { dSin^(-1)(x/3)/dx } dx です。 ここでも、y = Sin^(-1)(x/3) と置けば、 x = 3 sin(y) より dx/dy = 3 cos(y). ただし、 今回は、Tan^(-1) のときより複雑で、Sin^(-1) の値域のとり方により dx/dy = ±3 √{1 - (x/3)^2} の ± がどちらだか、ハッキリしません。 一応、dx/dy = 3 √{1 - (x/3)^2} の場合を書いておくと、 - ∫ x { dSin^(-1)(x/3)/dx } dx = - ∫ x { dy/dx } dx = ∫ -x/√(9 - x^2) dx = ∫ -x(9 - x^2)^(-1/2) dx = (9 - x^2)^(1/2). dx/dy = -3 √{1 - (x/3)^2} の場合も、同様です。 (4) 部分積分を二回やればよいです。 S = ∫ e^(-2x) sin(3x) dx と置いて、 S = (-1/2)e^(-2x) sin(3x) - ∫ (-1/2)e^(-2x) 3 cos(3x) dx. 同様に、 ∫ e^(-2x) cos(3x) dx = (-1/2)e^(-2x) cos(3x) - ∫ (-1/2)e^(-2x) (-3) sin(3x) dx. ですから、 S = (-1/2)e^(-2x) sin(3x) - (-3/2){ (-1/2)e^(-2x) cos(3x) - (3/2)S } となります。一次方程式を解いて、S が出る。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。大変見やすく、理解することができました。 私は数学は苦手だったので、最近、十年以上ぶりに勉強をしはじめて数学の難しさを痛感しています。

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  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

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  • 回答No.2
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

(1)I=∫x sec^(2)(x)dx =∫x(tan(x))'dx 部分積分して I=xtan(x)-∫x'tan(x)dx =xtan(x)-∫1・tan(x)dx =xtan(x)-∫tan(x)dx >私が解くと、xtanx- sec^(2)(x)+c になります。←間違い {tan(x)}'=sec^(2)(x),tan(x)=∫sec^(2)(x)dx これを∫tan(x)dx=sec^(2)(x)+c と勘違いしてませんか? 微分と積分を勘違いしたことによる間違いです。 もとに戻って I=xtan(x)-∫tan(x)dx =xtan(x)-∫sin(x)/cos(x)dx =xtan(x)-∫-(cos(x))'/cos(x)dx =xtan(x)+∫1/cos(x)d(cos(x)) cos(x)=t(|t|≦1)で置換積分 I=xtan(x)+∫1/t dt =xtan(x)+log(|t|)+C (logは自然対数、Cは積分定数) t=cos(x)を代入 I=xtan(x)+log(|cos(x)|)+C (2)I=∫Tan^(-1)(x)dx Tan^(-1)(x)=t(|t|≦π/2)とおいて置換積分 x=tan(t), Tan^(-1)(x)dx=Tan^(-1)(tan(t))d(tan(t)) =td(tan(t))=tsec^(2)(t)dt より I=∫tsec^2(t)dt (1)の積分と同じだから(1)と同様にして I=t・tan(t)+log(|cos(t)|)+C (Cは積分定数) Tan^(-1)(x)=t,x=tan(t)なので |cos(t)|=√{cos^(2)(t)}=1/√{sec^(2)(t)} =1/√{1+tan^(2)(t)}=1/√(1+x^2) を代入して I=Tan^(-1)(x)・x+log(1/√(1+x^2))+C =x Tan^(-1)(x)-(1/2)log(1+x^2)+C (3)I=∫Sin^(-1) (x/3)dx x/3=uとおいて置換積分 dx=3duなので I=∫Sin^(-1)(u) 3du =3∫Sin^(-1)(u) du Sin^(-1)(u)=t(|t|≦π/2)とおいて置換積分 u=sin(t),du=cos(t)dt より I=3∫t cos(t)dt 部分積分して =3{t sin(t)-∫1・sin(t)dt} =3t sin(t)+3cos(t)+C (Cは積分定数) sin(t)=u=x/3,t=Sin^(-1)(u)=Sin^(-1)(x/3), |t|≦π/2よりcos(t)=√(1-u^2)=√(1-(x/3)^2) であるから I=3Sin^(-1)(x/3)・(x/3)+3√(1-(x/3)^2)+C =x Sin^(-1)(x/3)+√(9-x^2)+C (4)I=∫e^(-2x) sin(3x) dx 部分積分を2回して I=(-1/2)e^(-2x) sin(3x)-∫(-1/2)e^(-2x) 3cos(3x)dx =-(1/2)e^(-2x) sin(3x)+(3/2)∫e^(-2x) cos(3x)dx =-(1/2)e^(-2x) sin(3x) +(3/2){(-1/2)e^(-2x) cos(3x)-∫(-1/2)e^(-2x) (-3)sin(3x)dx} =-(1/2)e^(-2x) sin(3x)-(3/4)e^(-2x) cos(3x) -(9/4)∫e^(-2x)sin(3x)dx I=-(1/2)e^(-2x) sin(3x)-(3/4)e^(-2x) cos(3x)-(9/4)I I+(9/4)I=-(1/2)e^(-2x) sin(3x)-(3/4)e^(-2x) cos(3x)+C1 (C1は積分定数) (13/4)I=-(1/4){e^(-2x)}(2sin(3x)+3cos(3x)}+C1 4/13を両辺に掛けて I=-{e^(-2x)/13}(2sin(3x)+3cos(3x))+(4/13)C1 積分定数C1を(4/13)C1=Cとおくと I=-{e^(-2x)/13}(2sin(3x)+3cos(3x))+C

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質問者からのお礼

ありがとうございます。積分と微分を混同してました。 その他にもわからないところが、理解できました。感謝いたします。

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