• ベストアンサー
  • 困ってます

不定積分

∫√(x^2-2)dx (1)部分積分で、x√(x^2-2)-∫x^2/√(x^2-2)dx この後進まず。 (2)置換積分で考えました  ア 三角関数でxを置き換え替えようとしましたが、sin,cos,tanいずれもダメなように思う  イ 他はあるのか 方針が分かればいいので、よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数127
  • ありがとう数3

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

三角関数を利用する置換積分なら、  x=(√2)/cos(t) などと置けば、  x^2-2=(2/(cos(t))^2)-2      =2(tan(t))^2 となりますので、一応何とかなるはずです。 tの範囲や絶対値の扱いなどには注意してください。 あとは、  x+√(x^2-2)=t と置いて置換積分するという手もあります。 なんでそんな置き方をするのかと聞かれても、うまくいくから仕方ないというところです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます x=(√2)/cos(t) でトライしたいと思います。

関連するQ&A

  • 不定積分できる!

    質問サイトなのにタイトルが肯定文なところに惹かれて来てくだっさたあなたに質問です。 私は基本的な不定積分(高校くらいまでで∧難しすぎないもの)ならできるつもりです。 しかし、三角関数の不定積分がよくわかりません。 たとえば、次の関数の不定積分を求めよ。(xは省略) ア) tan/cos , イ) cos^4 , ウ) 1/sin , エ) (tan/cos)^2 , オ) tan^4 , カ) 1/cos^4 きっとどうせ、置換積分法か部分積分法か式変形の組合せで解くのだと思いますが、三角関数の不定積分は紛らわしいです。 問題の式をちょっと見ただけですぐに解法が思いつくにはどうすればいいのでしょうか。 (別にアからカの答えを聞いているわけではありません。一応なんとか解けます)

  • 不定積分の問題

    不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫Tan^(-1)(x)dx (3)∫Sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + C (2) xTan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + C (3) xSin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + C (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + C

  • tan の部分積分

    いつもお世話になっています。 tan x の積分をしたくて、新しく覚えた部分積分というのを使ってみると  ∫tan x dx = ∫(sin x)/(cos x) dx = ∫(-cos x)' (1/cos x) dx = (-cos x)(1/cos x) - ∫(-cos x) (sin x/cos^2 x) dx = -1 + ∫tan x dx と、おかしなことになりました。 部分積分の公式の元に戻って  (fg)' = f'g + fg' と考えると  f(x) = -cos x  g(x) = 1/cos x となって、左辺が定数の微分になるので  (-1)' = tan x - tan x だからあってます。 定数を f(x), g(x) に分解したあたりが怪しいような気がするのですが、 最初にやった部分積分の式で何をどうしたのがいけなかったのかが説明できません。 いったい何がだめだったのでしょうか? よろしくお願いします。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4

#1さん、#2さん、#3さんが、既に回答されていることを、高校生向きに、まとめて説明すると… 書くのが面倒なので、元の問題を、∫√(x^2 - 1)dx で考えます √の中身が(x^2 - a^2) (a>0) のときなら、置換のとき、a倍すれば、OK これは、x = tの式、の置換で、x^2 - 1 = t^2 となるようにできると、先が簡単ですね。 で、高校の範囲で考えると、候補は2つ。 一つは、#1さんのように、(tan(t))^2 + 1 = 1/{cos(t)}^2、を使うもの。 x = 1/cos(t) と置換すると、x^2 - 1 = 1/{cos(t)}^2 - 1 = {tan(t)}^2、 dx/dt = sin(t)/{cos(t)}^2、なので、一応、先へ進めます。ただ、その先で悩む可能性も。 (補足で、これでいけそうと書いていた奴ですね。できましたか?) 大学数学だと、1/cosθ = secθ (読みは、セカント・日本語では正割) という高校で習わない三角関数の新種^^があって(参考書によっては、書いているものも)、微分の公式も、(tanθ)' = secθ などと書いてあります。 もう一つは、#2さん、#3さんの回答のように、c(t) = {e^t + e^(-t)}/2, s(t) = {e^t - e^(^t)}/2、を使うもの。 x = c(t) とおくと、x^2 - 1 = {c(t)}^2 - 1 = {s(t)}^2、dx/dt = {c(t)}' = s(t)、 なので、先へ進めて、この先の計算も、こっちの方が楽なので、本命だと思います。 ちなみに、この、c(t),s(t) は、大学では、双曲線関数と呼ばれるもので、 c(t) = cosh(t) (コサイン・ハイパボリック・t のように読みます。次も同様)、 s(t) = sinh(t)、#1さん、"2さんが、紹介していたのがこれですね。 書き方が似ているだけでなく、三角関数と似た性質が色々あり、三角関数で成り立つ公式がこっちではどうなるか、一度、色々計算してみると、勉強になります。入試でも、旧帝など、難関大学では、これらを意識した問題は、結構よく出ています。やっとくと、お得かも。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます x=√2/cosθとおいてやるのは、 ∫1/cosθdθの積分が出てきて、 この形は簡単そうで、混乱することがある形で ちょっと自信がありませんが、・・・。 ∫1/cosθdθ=log{(1+sinθ)/cosθ}となりました。

  • 回答No.3
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

I=∫√(x^2-2)dx=x√(x^2-2)-∫x^2/√(x^2-2)dx I1=∫x^2/√(x^2-2)dx=∫(x^2-2+2)/√(x^2-2)dx =∫√(x^2-2)dx +2∫1/√(x^2-2)dx I=x√(x^2-2)-I1=x√(x^2-2)-I-2∫1/√(x^2-2)dx 右辺のIを左辺に移項 2I=x√(x^2-2)-2∫1/√(x^2-2)dx I=(x/2)√(x^2-2)-∫1/√(x^2-2)dx =(x/2)√(x^2-2)-I3 I3=∫1/√(x^2-2)dx=log|x+√(x^2-2)|+C=cosh^-1(x/√2) +C この積分I3は積分公式にあります。 参考URL http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/sekibun/iroirona-kansuu-no-sekibun.html の■その他の中の最後の公式です。 t=x+√(x^2-2) または x=(√2)cosh(t) という変数変換をすれば積分できます。 ここで、cosh(t)は双曲線関数です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

大学まで行けば x = √2 cosh t とおく筋があるんですけどね>#1.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます x = √2 cosh tはx=(√2)/cos(t)のことだとしたら なんとかなりそうな予感がします

関連するQ&A

  • 不定積分

    こんばんわ。私は今大学一年生で、今学期「解析概要」という授業をとっています。 そこでの不定積分の問題なんですが、分からないものがあったのでよかったら教えてください! (1)∫arcsin(x) dx (2)∫x^2/√(a^2-x^2) dx (1)はarcsin(x)=yとしてx=sin(y)で置換して積分したら、arcsin(x)sin(arcsin(x))+cos(arcsin(x)) と出したんですが、解答はxarcsin(x)+√(1-x^2)となっていました。どうすればこういう答えになるのでしょう? (2)は部分積分で挑戦しましたが出来ませんでした。 よろしくお願いします。

  • 不定積分と広義積分

    不定積分、広義積分を求める問題です。 (1) ∫x^2/(x^4+1)dx (2) ∫(x^2-1)^(3/2)dx (3) ∫(-∞から∞まで)1/(x^6+1)dx 三角関数で置換してやってみたりしましたが、どうも上手くいかないみたいで。何か良い解法があれば教えてください。

  • 数学の質問です。

    数学の不定積分の質問です。 例えば ∫dx/[(x^2){(x^2-a^2)^(3/2)}] という不定積分を計算する際に、 x=1/cosθと置いて計算するとします。 すると、計算の途中で (sinθ)^2=(x^2-a^2)/(x^2) という関係式が現れます。 ここで、問題集の解説では、 なんの説明も無しに sinθ={√(x^2-a^2)}/x としています。 そこで質問なのですが、何故、 sinθ=±{√(x^2-a^2)}/x ではなく sinθ={√(x^2-a^2)}/x としているのでしょうか? もしかして、不定積分において三角関数に 置換する場合、三角関数は正とするのが 決まりなのでしょうか? (他の問題でも、例えば、 (tanθ)^2=x^2+1を tanθ=±√(x^2+1)ではなく tanθ=√(x^2+1)としていたりするので。)

  • 不定積分∫√[x(x+1)] dx の問題についておしえてください。

    教えていただきたいのは以下の問題です。 ∫√[x(x+1)] dx を適当な初等関数を用いた変数変換で有理関数の積分に帰着させよ (積分は実行しなくてもよい) √(x(x+1)) = √(x^2+x) = (1/2)*√[{2(x+(1/2))}^2-1] 2(x+(1/2)) = 1/Cos[x] とおくと dx = {(2x+1)^2/2}*Sin[θ] dθ ∴∫√[x(x+1)] dx = ∫(1/2)√[(1/Cos^2[θ])-1]*{(2x+1)^2/2}*Sin[θ] dθ = ∫(1/4)*Tan[θ]*Sin[θ]/Cos^2[θ] dθ =… でいいのでしょうか? また、積分を実行するとしたらどうすればいいのか教えてください。

  • 不定積分は途中経過によって結果が変わりますか?

    (1)x/(2x+3)^2 (2)(tan x)^3 を積分せよ.という問題で,解答と自分の答えがありません. (1)=x*{-1/2(2x+3)}'より部分積分の方法を用いて -x/{2(2x+3)}+log|2x+3|/4+C と出しました. しかし,問題集の解答(2x+3=tとする方法)には {log|2x+3|+3/(2x+3)}/4+C とありました. (2)=(sin x)^2*{1/2(cos x)^2}'より部分積分を用いて {(tan x)^2}/2+log|cos x|+C と出しました しかし,問題集の解答((sin x)^2=1-(cos x)^2とする方法)には log|cos x|+1/{2(cos x)^2}+Cとありました. どちらの問題のどちらの答えも微分すると(1),(2)に戻るのですが,どちらも正解ですか?

  • 三角関数の問題で、答えへの過程がわかりません

    左の三角関数が、なぜ右の答えに変換されるのかがよくわかりません。どなたか解説していただけませんでしょうか…。明日が期末テストで、この部分だけがどうしてもわからないのです… 次の三角関数を0°~180°の三角関数を用いて表しなさい。 1、sin432°=sin72° 2、cos500°=-cos40° 3、tan530°=-tan10° 4、cos(-79°)=cos79° 5、tan(-100°)=tan80° 6、sin(-47°)=-sin47° 7、sin234°=-sin54° 8、cos320°=cos40° 9、tan183°=tan3° 10、sin700°=-sin20° 11、tan(-1100°)=-tan20°

  • 積分の問題

    申し訳ないのですが、 ∫(sin x)^2 dx の解き方を教えてほしいです。 部分積分や置換積分で解いても、 なぜか、スッキリ解けなかったので。。 よろしくお願います。

  • 不定積分の問題です。教えてください。 

    こんにちは。 ∫1/X^2+1 dxという問題なのですが部分積分法や置換積分法を用いてもうまく解けません。解法を教えてください。

  • 三角関数を含む難しい定積分の求め方の急なお願い。

    問題は、 ∫(0,x){1/(√2+cosθ)^2}dθ  <積分範囲:0からxまで> 三角関数を含む積分で困ったときは、tan(x/2)=t の置き換えでトライすることにしていたのですが、泥沼に入ってしまいました。 この置換ではなく、他に変形・置換など有効な解法はないものでしょうか。急ぎで恐縮なのですが、どうかよろしくお願いします!また、前述のtの置換で進められるものかどうか、ヒントや見込みだけでもいただけると、嬉しいです。

  • 三角関数の置換積分

    sin(x),cos(x)の有理関数の不定積分を求める方法で、多くの微積のテキストでは、t=tan(x/2)として、置換積分する方法が紹介されています。 ですが、私にはちょっとこの方法は論理的に少し強引に感じられます。 テキストによると、上の置換で、sin(x)=2t/(1+t^2), cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2) dt/dx=(1+t^2)/2と表され、tの有理関数の不定積分に帰着させることが 必ずできると紹介されています。 ですが、t=tan(x/2)とおいてsin(x)などをtで表すということは、tan(x/2)が定義されているような x については可能ですが、例えば、x=πではsin(x)はtでは表されないはずです。 簡単な具体的な例をあげると、sin(x)を不定積分するとします。普通は直接積分するでしょうが、あえてこの方法で置換積分するとして、次の式が(多くのテキストの主張では)成り立ちます。 Integral(sin(x)dx) = Integral((2t/1+t^2) * 2/(1+t^2)dt)……[1] 右辺は、-(1-t^2)/(1+t^2)+C (Cは積分定数)の形で求まり、 (1-t^2)/(1+t^2) = cos(x)……[2] だったので、-cos(x)+C と不定積分が求まったかに見えます。 ところが、良く考えると、[1][2]の式はx=(2n-1)π,(n:整数)ではtが定義されないので、成り立ちません。tの式をあえてtan(2/x)で書いてみるとよくわかると思いますが、ところどころ不連続な関数(sin(x)を切ったもの)を積分し、不連続な関数(-cos(x)を切ったもの)が得られているだけです。しかも不連続ということは、各開区間で積分定数を独立に取れるので、厄介なことになります。 このあたりの議論を厳密にするにはどうすれば良いでしょうか。