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不定積分と広義積分

不定積分、広義積分を求める問題です。 (1) ∫x^2/(x^4+1)dx (2) ∫(x^2-1)^(3/2)dx (3) ∫(-∞から∞まで)1/(x^6+1)dx 三角関数で置換してやってみたりしましたが、どうも上手くいかないみたいで。何か良い解法があれば教えてください。

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まず(1)ですが、被積分関数(積分される関数)を部分分数分解しなければなりません。 P(x)/Q(x) + R(x)/S(x) (P、Rは1次以下の多項式、Q、Sは2次式) の形にもっていきます。x^4+1 の実数範囲内での因数分解ができればわかると思います。 ヒントは、 x^4 + 2x^2 + 1 - (√2 x)^2  です。 またはオイラーの公式から一旦複素数の範囲で因数分解をして、共役な複素数をもつもの同士を組み合わせてもできます。 (2)は、x=1/cosθ と置き換えれば、置換積分ができます。 (3)は、(1)と同じやり方でも可能です。同様に部分分数分解すれば積分できます。しかし複素積分をご存知ならば、そのほうが圧倒的に楽です。

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質問者からのお礼

回答どうもありがとうございます。頂いたヒントをもとに、この問題を解いてみたところ、なんとか答えにたどり着くことができました。

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