不定積分できる！

質問

質問サイトなのにタイトルが肯定文なところに惹かれて来てくだっさたあなたに質問です。
私は基本的な不定積分（高校くらいまでで∧難しすぎないもの）ならできるつもりです。
しかし、三角関数の不定積分がよくわかりません。
たとえば、次の関数の不定積分を求めよ。(xは省略)

ア) tan/cos , イ) cos^4 , ウ) 1/sin ,
エ) (tan/cos)^2 , オ) tan^4 , カ) 1/cos^4

きっとどうせ、置換積分法か部分積分法か式変形の組合せで解くのだと思いますが、三角関数の不定積分は紛らわしいです。
問題の式をちょっと見ただけですぐに解法が思いつくにはどうすればいいのでしょうか。
（別にアからカの答えを聞いているわけではありません。一応なんとか解けます）

回答No.1

proto · ベストアンサー

少々力業ですが、有理関数に三角関数を合成した形の積分
(質問のア～カまでは全て当てはまります)
この形はt=tan(x/2)と置いて変数変換すれば、tについての有理関数に持って行けます。
有理関数は因数分解→部分分数展開というお馴染みの手順で必ず積分できます。(綺麗な形で因数分解ができるかどうかは別ですが)

という訳で、t=tan(x/2)とおけばいつでも大丈夫なんですが、実際に計算してみるとそれでも相当ややこしいことがわかります。
ですので、この置き換えはできれば使わないほうがすっきりと計算できます。
ではすぐに解法が思いつくにはどうしたらいいか、それにはやはり場数を踏むしかないですね。

ゆっくり落ち着いて、確実に問題をこなしていくしかありません。
そのうち、カン・センスみたいなモノが身に付いてきます。
三角関数にも慣れて計算間違いも減るでしょう。頑張って下さい。

お礼

回答ありがとうございます。

t＝tan(x/2) という形は実は見たことがあります。
しかし、それは数IIのときの、三角関数のいろいろな性質・公式の分野ででした↓
「t＝tan(x/2) のとき、sinx, cosx, tanx をそれぞれtの式で表せ」のような感じ。

まさかこれが積分に使われるとは。
何で学校（高校）で教えないんだ。って思いましたが、やはり、
>この置き換えはできれば使わないほうがすっきりと計算できます
って理由ですかね。教えると余計混乱する。だから、
>そのうち、カン・センスみたいなモノが身に付いてきます
を信じて繰り返し練習せよ。見たいな感じなのでしょうか。

しかしほとんどの人が、カンやセンスが身につくことに到達する前に溺れて沈んでいきますね。へへ。

参考になりました。