微分積分

質問

(1) ∫(sinx-cosx)^2 dx

(2) ∫(1+logx)/x dx

の積分と積分した答えを微分してもとに戻ることを教えてください。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

(1) ∫(sinx-cosx)^2dx

=∫(1-2sinxcosx)dx=∫(1-sin2x)dx=x+(1/2)cos2x+C

(x+(1/2)cos2x+C)'=1-sin2x=sin^2x+cos^2x-2sinxcosx=(sinx-cosx)^2

(2) ∫(1+logx)/xdx

=∫(1/x+logx/x)dx=logx+∫(logx/x)dx

部分積分を使って

∫(logx/x)dx=(logx)^2-∫(logx/x)dx

⇒∫(logx/x)dx=(1/2)(logx)^2

以上から

∫(1+logx)/xdx=logx+(logx)^2/2+c

(logx+(logx)^2/2+c)'=1/x+2(logx)(1/x)/2=1/x+logx/x=(1+logx)/x

お礼

ありがとうございます