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微分積分

(1) ∫(sinx-cosx)^2 dx (2) ∫(1+logx)/x dx の積分と積分した答えを微分してもとに戻ることを教えてください。

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(1) ∫(sinx-cosx)^2dx =∫(1-2sinxcosx)dx=∫(1-sin2x)dx=x+(1/2)cos2x+C (x+(1/2)cos2x+C)'=1-sin2x=sin^2x+cos^2x-2sinxcosx=(sinx-cosx)^2 (2) ∫(1+logx)/xdx =∫(1/x+logx/x)dx=logx+∫(logx/x)dx 部分積分を使って ∫(logx/x)dx=(logx)^2-∫(logx/x)dx ⇒∫(logx/x)dx=(1/2)(logx)^2 以上から ∫(1+logx)/xdx=logx+(logx)^2/2+c (logx+(logx)^2/2+c)'=1/x+2(logx)(1/x)/2=1/x+logx/x=(1+logx)/x

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