微積分

質問

1.lim(logx/x^3) (x→∞) の極限を求めるにはどうすればいいんでしょうか？logxを微分して1/xを使うような気がするんですけど、どうしたらいいかわかりません。よろしくお願いします。

2.∫(1/(1+sinx+cosx))dx はどうしたらいいですか？分母を置き換えて解こうと思ってもどうしていいか分かりません。 よろしくお願いします。

回答No.2

noname#20999 · ベストアンサー

補足します。
1. xが十分大きいときlogx/x^3<logx/xなのでlim(logx/x)(x→∞)について考えれば十分です。t=e^xとおくことによりlogx/x=t/e^tとなりますがこの極限は学校で習ったと思うので出来ると思います。
ただde L'Hospitalの定理を使うともっと楽です。

2. sinx,cosxの式の場合t=tan(x/2)とするのがうまいやり方で、sinx,cosx,dx/dtをすべて分母の等しいtの式に変えることが出来ます。覚えておくと良いでしょう。

補足

すいません。しばらく病気で学校を休んでいたので、ついていけてないのですが、答えまでを詳しくお願いできませんか？

回答No.4

kokkoro

１については、証明して考えることができますが、とりあえず答えにいたるために、高校の授業や試験で使ってもよい「x→∞の時に、∞に向かう"強さ"は、対数関数(logx など) ＜ 多項式(x^5-2^x など) ＜ 指数関数(e^x, 2^x など)」を覚えておくといいと思います。この問題では対数関数/多項式、という形なので、x→∞の時、∞に向かう"強さ"は多項式の方が強いです。ので、∞に弱く(遅く)向かう対数関数/∞に強く(早く)向かう多項式、は、0となります。（分母の方が早く∞にいくので、とても大きなxを考えた時、分子に対して分母はとてつもなく大きな数になっていくということです。）

お礼

説明ありがとうございました。

回答No.3

noname#20999

t=e^xではなくx=e^tです。申し訳ありません。

回答No.1

rabbit_cat

1. x=e^t と置き換える。
2. t=tan(x/2) と置き換える。

補足

どこをどういうふうにしていくのか詳しくお願いしますm(_ _)m