極限値を求める問題

質問

いつもみなさんの問題解決のためのアイデアに感心しております。

今日行き詰まった問題は、以下のものです。

極限値を求めよ
lim[x→0](1/x - 1/sinx)

変形すると
lim[x→0]((sinx-x)/xsinx)

0/0の形になるから先日教えていただいたロピタルの定理を使って上下を微分し、
lim[x→0](cosx/(sinx+xcosx))

さらに上下を微分し
lim[x→0](-sinx/(cosx+cosx-xsinx))
と置き換えて

答え”０”で良いのでしょうか？

よくご存じの方、”正解”がついていないので、ご教示をお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>lim[x→0](cosx/(sinx+xcosx))

lim[x→0]((cosx-1))/(sinx+xcosx))

ですね．よって，ロピタルで 0

=============
私がやるなら，
(sin(x)-x)/(x sin(x))
= x/sin(x) ・ (sin(x)-x)/x^2
sin(x)を級数展開して
sin(x)= x - 1/3! x^3+・・・
だから，極限は 1・0 = 0
かなあ
まあ，単にロピタルにはいろいろ亜種があって
覚えきれないだけなんですが(^^;;

回答No.5

imopro

lim[x→0](cosx/(sinx+xcosx))じゃなくて、確かに
lim[x→0]((cosx-1)/(sinx+xcosx))ですね。自分で計算せずに投稿を鵜呑みにしてしまいました。すみません。

これだったら皆さんの仰っている通り、0になりますね。
級数展開して確かめてもなりますね（sin(x)=x-x^3/3!+o(x^5)として計算しました）。

補足

すみません、自分のノートからの写し漏れをしていました。

回答No.4

koko_u_

解答に自信がない場合は、Taylor 展開を適当にしてみると良いでしょう。

sin x = x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - ....

1/sin x = (1/x){1/(1 - (1/3!)x^2 + (1/5!)x^4 ... )}

1/x - 1/sin x = (1/x){ 1 - 1/(1 - (1/3!)x^2 + (1/5!)x^4 ... )}
= (1/x){(1/3!)x^2 - (1/5!)x^4 ... }/{1 - (1/3!)x^2 + (1/5!)x^4 - ... }

で x -> 0 の時、分母は 1 で分子は 0

お礼

このアイデアには感心しました。自分には解決のための引きだしが少ないことがよくわかりました。

回答No.2

imopro

あ、すみません。間違えました。
+∞じゃなくて、∞ですね。きっと。

lim[x→+0](1/x - 1/sinx)
と読み間違えてました。

回答No.1

imopro

+∞に発散する、が答だと思います。

そこまで詳しくはありませんが、ロピタルの定理の使い方を間違えてませんか？

> さらに上下を微分し
何で更に微分するんでしょうか。
lim[x→0](cosx/(sinx+xcosx))の時点で、cosx/(sinx+xcosx)のxに0を代入すればよいのでは？
そうすれば+∞に発散する事が分かります。