絶対値 微分 問題

質問

絶対値　微分　問題

絶対値付きの微分についての質問です。
｜sinx｜，｜cosx｜，｜logx｜の微分って可能でしょうか？

グラフを描いてみたのですが、
｜sinx｜はx=0，π（πの周期）で微分不可能と思いました。
｜cosx｜はx=π/2の周期で微分不可能と思いました。
で｜logx｜はx=1で微分不可能と思いました。

例えば、｜cosx｜はx=0では微分可能ですが、
｜sinx｜はx=0では微分不可能です。
x=0に関しては、｜cosx｜は微分できるけど
｜sinx｜は微分できないと思います？
｜logx｜は、x=0関数が定義されない、x=1では
微分できない。

ここで、単純に｜cosx｜や｜sinx｜を微分せよ
と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか？
微分するとは、x=xの微分係数を求める事だと認識
しています。

絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。

絶対値が付いた微分の問題に当たった事がないので、気になり
質問させて頂きました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

「微分可能」ということの定義は大丈夫ですよね？
極限として求めた場合に、左極限（h→-0）と右極限（h→+0）の値が一致することです。

ですので、
|sin(x)|の x＝ nπや |cos(x)|の x＝ (2n+1)π/2といった点では、微分不可能となります。
ただ、それ以外の点では微分可能です。
ですから、

＞ここで、単純に｜cosx｜や｜sinx｜を微分せよ
＞と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか？
というわけではなく、条件を付けたり（x≠ nπなど）や場合分けをして（絶対値の中の正負）
微分係数を求めるのが通常だと思います。

絶対値付きの関数のグラフを考えると、y＜ 0の部分は x軸で折り返していることになります。
ですので、この「折り目」になっている点で、たいていは微分不可能になってきます。
（折り返す前のグラフが連続であり、かつ x軸をまたいでいるような点では）

＞絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。
高校数学の内容でありがちな問題としては、
「連続」と「微分可能性」を論じさせるようなものがありますね。
関数：y＝ |x|について、x＝ 0で連続ではあるが、微分不可能であることを示せ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
やはり、場合分けして微分しないといけないですね。ありがとうございました。

回答No.3

OurSQL

連続関数ばかり考えると、絶対値を付けることにより、微分可能でない点が増えることはあっても減ることはない、みたいに考えてしまいがち。

極端な例を挙げてみます。

f(x) = －1 ( x ∈ Q ), f(x) = 1 ( x ∈ R － Q )

とした場合、f(x) と | f(x) | の微分可能性を考えてみるのも面白いと思います。

回答No.1

OurSQL

>ここで、単純に｜cosx｜や｜sinx｜を微分せよ
>と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか？
それだけでは不十分だと思います。
ちゃんと場合分けして、答える必要があります。

>絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。
y = | log x | ( x > 0 ) とすれば、
x > 1 のとき、dy/dx = 1/x,
x = 1 のとき、y は微分可能でない,
0 < x < 1 のとき、dy/dx = －1/x

平凡な例で恐縮ですが。