微分積分

質問

微分積分のやり方がイマイチ分かりません。
(1)∫2xdx＝x^2+C
を積分した時に、なぜx^2+Cになるのですか。細かく途中式を書いて下さい。
(2)∫4x^3log x dx
の式で微分すると簡単になる方をｆすると、あるのですが、どう調べるのですか。そして
＝∫logx・(x^4)'dx
で、なぜ4x^3がx^4になったのか詳しく教えて下さい。

回答No.4

drizzler-red

＞つまり、指数を前に持ってきたら微分
＞xの前の数字を指数にすると積分と言う風に覚えて良いのでしょうか。

一応、公式として
微分 (x^p)' = px^(p-1)
積分 ∫x^p dx = {1/(p+1)}*x^(p+1) + C (p≠1)
∫(1/x)dx = log|x| + C
ですが、公式を暗記するのではなく、微分の定義を教科書で確認してから、
公式の証明方法を考えてみてください。積分は、微分の逆です。

＞後、sin・cos・tanは、どう覚えれば良いですか。

正しい問題が分からないので、答えに困りますが、覚えるという考え方は、
ふさわしい表現ではないかと思います。どうすると解けるのかを考える。
あまりパターン化して暗記することは、お勧めできません。

＞2x+cosが微分

(2x+cos(x))' = 2 - sin(x)

＞x^2+sin xが積分

∫(x^2+sin(x))dx = (1/3)*x^3 - cos(x) + C (C は積分定数)

＞で、tanは、微分積分にあるのですか。

∫tan(x)dx = ∫(sin(x)/cos(x))dx = -∫dt/t = -log|t| + C
　　　　　 = -log|cos(x)| + C (C は積分定数)
cos(x)=t とおくと
dt/dx = -sin(x)
dt = -sin(x)dx
これは、置換積分というものです。

まずは、教科書に書かれている基本事項の確認をしてみてください。

お礼

有り難う御座いました。

回答No.3

alice_44

＞ sin・cos・tanは、どう覚えれば良いですか。

微分積分の結果を教科書で確認の後、
繰り返し書いたり、唱えたりして覚えるとよい
と思います。問題を解くのに使うっていると、
自然と頭に入っていくものです。

＞ 2x+cosが微分
＞ x^2+sin xが積分
＞ で、tanは、微分積分にあるのですか。

質問文の日本語が意味不明です。国語力を鍛えないと、
教科書などを読むのにも苦労するかもしれませんね。

＞ 例えば∫2x+cos x/x^2sin x dxのとき

…とありますが、
∫{ (2x + cos x)/(x^2 + sin x) } dx ←[1]
ということなのでしょうか？
括弧のつけかたがよく判らないし、
分母が和なのか積なのかも不明です。

もし、[1] の意図であれば、
(d/dx)(x^2 + sin x) = 2x+cos x であることの注目して
y = x^2 + sin x と置けば、
∫{ (2x + cos x)/(x^2 + sin x) } dx = log(±y) + (定数)
と積分できるはずです。
部分積分を使う事例ではないと思います。

お礼

有り難う御座いました。

回答No.2

drizzler-red

1)∫2xdx＝2∫xdx
　　　　 ＝2*(1/2)*x^2 + C
＝x^2 + C (Cは積分定数)

＞(2)∫4x^3log x dx
＞ の式で微分すると簡単になる方をｆすると、あるのですが、どう調べるのですか。

部分積分ですね。慣れてくると、どちらがｆにあたるものなのか分かってくると思います。

＞そして
＞ ＝∫logx・(x^4)'dx
＞ で、なぜ4x^3がx^4になったのか詳しく教えて下さい。

∫4x^3log x dx＝∫logx・(x^4)'dx です。
x^4を微分すると4x^3です。' とは、微分を表します。

与式＝∫logx・(x^4)'dx
＝x^4*logx - ∫(1/x)*x^4 dx
＝x^4*logx - ∫x^3 dx
＝x^4*logx - (1/4)*x^4 + C (Cは積分定数)
　(＝x^4(logx - 1/4) + C (Cは積分定数))

この計算過程が理解できないようでしたら、部分積分の公式の証明を教科書等でじっくり考えてみてください。

お礼

なんとか分かりました。つまり、指数を前に持ってきたら微分
xの前の数字を指数にすると積分と言う風に覚えて良いのでしょうか。

後、sin・cos・tanは、どう覚えれば良いですか。
例えば∫2x+cos x/x^2sin x dxのとき

2x+cosが微分
x^2+sin xが積分
で、tanは、微分積分にあるのですか。

回答No.1

alice_44

(1)
∫g(x)dx とは、x で微分したら g(x) になる関数のこと。
それが、「不定積分」の定義です。
したがって、∫2xdx = x^2+C を計算することは、
2x = d(x^2+c)/dx を示すことと同一です。
d(x^2+c)/dx = 2x を示すには、微分係数の定義に戻って
確認する。df(x)/dx = lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h です。
f(x) = x^2+C に当てはめると、
d(x^2+c)/dx = lim[h→0] {((x+h)^2+C)-(x^2+C)}/h
= lim[h→0] (2x+h) = 2x となります。
これで、∫2xdx = x^2+C が示されました。

解りましたか？ 却って分らなくなったのではないかと心配です。
このような、全ての教科書に必ず書いてあることをネットで質問
してしまうような人は、細かい途中式を与えてもらうよりも、
単に ∫(x^n)dx = {x^(n+1)}/(n+1)+C を棒暗記しておいたほうが
よいのではないか…とも思うからです。

(2)
(x^4)' = 4x^3 になる計算は、上記の (x^2)' = 2x と同様です。
自分でやってみてください。それができたら、
両辺に log x を掛けて、x で積分すれば、
∫(log x)(x^4)' dx = ∫(4x^3)(log x)dx になります。

= ∫(log x)(x^4)' dx と変形すると何がウレシイのか…は、
「部分積分」というものを勉強すれば解りますが、それは
また別の話題です。

お礼

なんとか分かりました。つまり、指数を前に持ってきたら微分
xの前の数字を指数にすると積分と言う風に覚えて良いのでしょうか。

後、sin・cos・tanは、どう覚えれば良いですか。
例えば∫2x+cos x/x^2sin x dxのとき

2x+cosが微分
x^2+sin xが積分
で、tanは、微分積分にあるのですか。