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数(3)・不定積分 : log(x+2)、log(1-x)の積分の仕方

数(3)の不定積分で「log(x+2)」「log(1-x)」(どちらも底はeです)の積分をやったのですが、授業で理解しきれなかった事があります。 最初の問題は部分積分法の公式を使うと ∫log(x+2)=log(x+2)・x-∫1/(x+2)・xdx …(1)となり、 解答は log(x+2)・x-x+2log|x+2|+C (Cは積分定数) となるのですが、(1)式の右辺、「∫1/(x+2)・xdx」の部分を、何故、それぞれを約分して「∫1dx+∫1/2xdx」としてはいけないのかが判りません。 次の問題は、上と同じようにして部分積分法の公式を使うと ∫log(1-x)=log(1-x)・x+∫x/(1-x)dx …(2)となり、 解答は x・log(1-x)-x-log|1-x|+C(Cは積分定数) となるのですが、ここで、(2)式の右辺、∫x/(1-x)dxの部分を、部分分数に分けて∫{-1+1/(1-x)}にするのですが(今の式の『-1』は、(1-x)で割られない、普通の-1です)、そういう風に変形する意味が分かりません。 分かる方が居ましたら、教えて下さると嬉しいです!

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ひとつめ。 1/(x+2) = 1/x + 1/2 だと勘違いしていませんか? ふたつめ。 (1)式とは違い、分子にxがあるので、部分分数分解をして、 分子にxがない状態にすると、積分しやすくなるからです。 この例でいくと、∫(-1+1/(1-x))dx = -∫1dx + ∫(1/(1-x))dxになるので、 あとはそのまま積分できます。

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質問者からの補足

素早い対応、どうも有難うございます!! ひとつめのご解答のほうは、 …今気付いたのですが、selene_plさんのご指摘を頂いたように勘違いしていました。ど、どうもすいませんでした…!!ご指摘、有難うございました! あの、でも質問の内容が変わってきてしまうのですが、となると∫1/(x+2)・xdxの部分、すなわち∫x/(x+2)の部分は部分分数に分解して、∫{1-1/(x+2)}dx(今の『1』は、(x+2)で割られない普通の+1です!)になりますよね。それを積分すると『x-log|x+2|』になるはずなのに、解答では、それに対応する部分が『x-2log|x+2|』となってしまっています…(解答ですと、logの部分に係数がついています)。何でそうなるのか…よく分からなくなってしまいました。良かったら、何方か教えていただけると助かります。 あと、二つ目は納得しました!そうですね、そっちのほうがやり易かったです…! 重ね重ね、親切なご解答、どうも有難うございました!!

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その他の回答 (1)

  • 回答No.2

>∫x/(x+2)の部分は部分分数に分解して、∫{1-1/(x+2)}dx これも、単純な勘違いのようですよ。 x/(x+2) = 1 - 2/(x+2) です。 ここで、係数の2が出てきますね。 このあたりのコツがつかめると、この手の積分はかなりできるようになるので、頑張ってください。 ・・・#1の回答の、ふたつめ。「(1)式と違い」って書いているのは、明らかに私の勘違いですねぇ。 訂正しておきます。違いません、同じような計算です。 #人に偉そうなことが言えない(^^ヾ

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質問者からのお礼

あっ、そ、そうでした…!!! 部分分数に分けるやり方、暗算でやるとやっぱりダメですね(汗)。ちゃんと丁寧にやるのが一番でした…(ごめんなさい!!ちゃんと回数をこなして出来るように頑張ります!)。 本当、教えていただいてもらえて助かりましたので、ふたつめのご解答の返信、全然気にしないで下さいね!考え方に関わってくるような問題じゃないですから!(^-^) 前問に続いてのお返事、本当にどうも有難うございました…!テスト勉強、頑張ります!

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