積分？微分？

質問

ｆ(x) = x^2 * exp(-ax^2)の時,
∫ｆ(x)xdx を求めるたいのですが,
ヒントとしてx^2 * exp(－ａｘ2) を微分せよと
書いてありました．
微分していくと,ｆ(x)x が出てきて,これを積分して
求めるというやり方だと思うのですが,
[x^2 * exp(-ax^2)](0-∞)が出てきて,詰まりました．
どのように計算すればよいのでしょうか?
それとも,微分の過程が間違っているのでしょうか?
どなたかわかる方よろしくお願いします．

出典：
http://www.nucleng.kyoto-u.ac.jp/people/ikuji/edu/vac/app-A/speed.html

回答No.1

proto · ベストアンサー

∫f(x)xdx=∫(x^3)*exp(-ax^2)dx
　　　　　　=-(x^2+1/a)*exp(-ax^2)/2a +C
ではないでしょうか
　x^2=t
と置いて解きました

ちなみにa>0で
　[x^2 * exp(-ax^2)](0-∞)=0
だと思います

お礼

[x^2 * exp(-ax^2)](0-∞)=0
これはロピタルの定理から求まりますね．
気づかんかった…
おかげで解決しました．
ありがとうございました．

回答No.2

physicsache

こういう場合・・・

I=∫x^n*exp(ax^n)dx

exp(ax^n)を微分してやると、簡単です。

{exp(ax^n)}'=an*x^(n-1)*exp(ax^n)

ですから、
I=(1/an)∫x*{exp(ax^n)}'dx

と、書き直すことができますねぇ・・・
部分積分で解けませんかぁ？？？(^-^)/

お礼

∫x^n*exp(ax^n)dxのケースだと,
こんな解き方も出来るんですね．
参考になりました．
ありがとうございました!