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微分 積分 問題
微分 積分 問題 F(x)=∫［a～x］((x-t)^2)f(t)dtのときdF/dxを求めよ。 という問題なのですが、原始関数F(x)を求めて、微分すればよいのですが F(x)=∫［a～x］((x-t)^2)f(t)dtの積分がわかりません・・・ どのようにすれば良いのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
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- f272
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> について、xで微分する場合のtが分かりません？ > tにxを代入しているだけでしょうか？なぜ？ #1ですでに言ってるでしょ。 G(x)=∫［a～x］f(t)dtならG'(x)=f(x)だって。
補足
ご回答ありがとうございます。 G(x)=∫[a～x]f(t)dtならG(x)’=f(x)は分かるのですが・・・ なぜ、(∫[a～x](t^2)f(t)dt)=（x^2）f(x)となるのですか？ （t^2）をどう扱えば良いかが分からないです・・・ 本当にすいませんm(__)m
- f272
- ベストアンサー率46% (8365/17889)
> f(t)の積分はF(t)とすれば良いのでしょうか？ こんなことが分かっているのなら。逆にF(t)をtで微分すればdF(t)/dt=f(t)と言うことでしょ。 そうするとdF/dxを求めよなんて言うのは問題になりません。 問題文のどこかにF(x)とf(x)の関係が書いてありましたか？何もかいていないのでしたらF(x)とf(x)は無関係ということですね。 さて... 例えば(x^2)∫［a～x］f(t)dtの部分をxで微分すると ((x^2)∫［a～x］f(t)dt)'=(2x)∫［a～x］f(t)dt+(x^2)f(x) ですね。 その他の項も (-2x∫［a～x］tf(t)dt)'=-2∫［a～x］tf(t)dt-2(x^2)f(x) (∫［a～x］(t^2)f(t)dt)'=(x^2)f(x) となるので，すべてを足し合わせると dF(x)/dx=(2x)∫［a～x］f(t)dt-2∫［a～x］tf(t)dt これで答えが求まっていると思わないですか？
補足
ご回答ありがとうございます。 >問題文のどこかにF(x)とf(x)の関係が書いてありましたか？ >何もかいていないのでしたらF(x)とf(x)は無関係ということですね。 f(x)の原始関数がF(x)だと認識していました。 F(x)=（(x-t)^2）f(t)dtを展開して F(x)=(x^2)∫［a～x］f(t)dt-2x∫［a～x］tf(t)dt+∫［a～x］(t^2)f(t)dt (1)（(x^2)∫［a～x］f(t)dt）'=2x∫［a～x］f(t)dt+(x^2)f(x) (2)（-2x∫［a～x］tf(t)dt）'=-2∫［a～x］tf(t)dt-2(x^2)f(x) (3)（∫［a～x］(t^2)f(t)dt）'=(x^2)f(x) (F(x))'=(1)+(2)+(3)=2x∫［a～x］f(t)dt-2∫［a～x］tf(t)dt になるということは分かりました。ありがとうございます。 について、xで微分する場合のtが分かりません？ (∫［a～x］f(t)dt)'=f(x) (∫［a～x］tf(t)dt）'=xf(x) (∫［a～x］(t^2)f(t)dt）'=(x^2)f(x) tにxを代入しているだけでしょうか？なぜ？ 申し訳御座いませんが、ご回答よろしくお願い致しますm(__)m
- f272
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f が区間 I 上連続ならば、f の不定積分 G(x)=∫［a～x］f(t)dt は I 上微分可能で、 G'(x)=f(x) が成り立つ。 F(x)=(x^2)∫［a～x］f(t)dt-2x∫［a～x］tf(t)dt+∫［a～x］(t^2)f(t)dt この2つがわかっていれば簡単。
お礼
すいません。わからないのでご回答頂けませんでしょうか？ よろしくお願い致しますm(_ _)m
補足
ご回答ありがとうございます。理解できません・・・ G(x)=∫［a～x］f(t)dtは I 上微分可能で、G'(x)=f(x)が成り立つ。 は理解できます。 F(x)=(x^2)∫［a～x］f(t)dt-2x∫［a～x］tf(t)dt+∫［a～x］(t^2)f(t)dt も式を展開すれば作ることができました。 f(t)の積分はF(t)とすれば良いのでしょうか？ F(x)=(x^2)∫［a～x］f(t)dt＝(x^2)（F(x)-F(a)）で良いのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
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