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微分 積分 問題

微分 積分 問題 F(x)=∫[a~x]((x-t)^2)f(t)dtのときdF/dxを求めよ。 という問題なのですが、原始関数F(x)を求めて、微分すればよいのですが F(x)=∫[a~x]((x-t)^2)f(t)dtの積分がわかりません・・・ どのようにすれば良いのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • RY0U
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  • 回答No.4
  • f272
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> G(x)=∫[a~x]f(t)dtならG(x)’=f(x)は分かるのですが・・・ あるtに関する関数f(t)をaからxまで定積分すると、xの関数G(x)になって、それをxで微分すると元と同じ形のxの関数f(x)になる、といっています。このある関数f(t)をf(t)=(t^2)h(t)だと思えば(これもtの関数ですね)、結論は(x^2)h(x)になる、となるでしょう。式で書けば (∫[a~x](t^2)h(t)dt)'=(x^2)h(x) です。このhをあらためてfと書けば (∫[a~x](t^2)f(t)dt)'=(x^2)f(x) ですね。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。理解できました。 親切丁寧にありがとう御座いました。 最後に一点だけ質問させて下さい。 ご回答者様はfが区間I上連続ならば、fの不定積分G(x)=∫[a~x]f(t)dtはI上微分可能で、 G´(x)=f(x)とF(x)を用いずG(x)としているのでしょうか?F(x)とした方がすっきりするのですが、何か問題があるのでしょうか? すいませんが、よろしくお願い致します。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3
  • f272
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> について、xで微分する場合のtが分かりません? > tにxを代入しているだけでしょうか?なぜ? #1ですでに言ってるでしょ。 G(x)=∫[a~x]f(t)dtならG'(x)=f(x)だって。

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質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 G(x)=∫[a~x]f(t)dtならG(x)’=f(x)は分かるのですが・・・ なぜ、(∫[a~x](t^2)f(t)dt)=(x^2)f(x)となるのですか? (t^2)をどう扱えば良いかが分からないです・・・ 本当にすいませんm(__)m

  • 回答No.2
  • f272
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> f(t)の積分はF(t)とすれば良いのでしょうか? こんなことが分かっているのなら。逆にF(t)をtで微分すればdF(t)/dt=f(t)と言うことでしょ。 そうするとdF/dxを求めよなんて言うのは問題になりません。 問題文のどこかにF(x)とf(x)の関係が書いてありましたか?何もかいていないのでしたらF(x)とf(x)は無関係ということですね。 さて... 例えば(x^2)∫[a~x]f(t)dtの部分をxで微分すると ((x^2)∫[a~x]f(t)dt)'=(2x)∫[a~x]f(t)dt+(x^2)f(x) ですね。 その他の項も (-2x∫[a~x]tf(t)dt)'=-2∫[a~x]tf(t)dt-2(x^2)f(x) (∫[a~x](t^2)f(t)dt)'=(x^2)f(x) となるので,すべてを足し合わせると dF(x)/dx=(2x)∫[a~x]f(t)dt-2∫[a~x]tf(t)dt これで答えが求まっていると思わないですか?

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質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 >問題文のどこかにF(x)とf(x)の関係が書いてありましたか? >何もかいていないのでしたらF(x)とf(x)は無関係ということですね。 f(x)の原始関数がF(x)だと認識していました。 F(x)=((x-t)^2)f(t)dtを展開して F(x)=(x^2)∫[a~x]f(t)dt-2x∫[a~x]tf(t)dt+∫[a~x](t^2)f(t)dt (1)((x^2)∫[a~x]f(t)dt)'=2x∫[a~x]f(t)dt+(x^2)f(x) (2)(-2x∫[a~x]tf(t)dt)'=-2∫[a~x]tf(t)dt-2(x^2)f(x) (3)(∫[a~x](t^2)f(t)dt)'=(x^2)f(x) (F(x))'=(1)+(2)+(3)=2x∫[a~x]f(t)dt-2∫[a~x]tf(t)dt になるということは分かりました。ありがとうございます。 について、xで微分する場合のtが分かりません? (∫[a~x]f(t)dt)'=f(x) (∫[a~x]tf(t)dt)'=xf(x) (∫[a~x](t^2)f(t)dt)'=(x^2)f(x) tにxを代入しているだけでしょうか?なぜ? 申し訳御座いませんが、ご回答よろしくお願い致しますm(__)m

  • 回答No.1
  • f272
  • ベストアンサー率46% (6538/14041)

f が区間 I 上連続ならば、f の不定積分 G(x)=∫[a~x]f(t)dt は I 上微分可能で、 G'(x)=f(x) が成り立つ。 F(x)=(x^2)∫[a~x]f(t)dt-2x∫[a~x]tf(t)dt+∫[a~x](t^2)f(t)dt この2つがわかっていれば簡単。

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質問者からのお礼

すいません。わからないのでご回答頂けませんでしょうか? よろしくお願い致しますm(_ _)m

質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。理解できません・・・ G(x)=∫[a~x]f(t)dtは I 上微分可能で、G'(x)=f(x)が成り立つ。 は理解できます。 F(x)=(x^2)∫[a~x]f(t)dt-2x∫[a~x]tf(t)dt+∫[a~x](t^2)f(t)dt も式を展開すれば作ることができました。 f(t)の積分はF(t)とすれば良いのでしょうか? F(x)=(x^2)∫[a~x]f(t)dt=(x^2)(F(x)-F(a))で良いのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

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