積分 問題

質問

積分 問題

次の関数F(x)をxで微分せよ。
F(x)=∫[a～x](x-t)^2f(t)dt
どのように解けば良いのでしょうか？全くわかりません。

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

noname#125931 · ベストアンサー

h>0とする。
(F(x+h)-F(x))/h=(1/h){∫[a,x+h](x+h-t)^2f(t)dt-∫[a,x](x-t)^2f(t)dt}
=(1/h){∫[x,x+h](x+h-t)^2f(t)dt+∫[a,x]((x+h-t)^2-(x-t)^2)f(t)dt}
=(1/h)*h*(x+h-s)^2f(s)+∫[a,x]{((x+h-t)^2-(x-t)^2)/h}f(t)dt
(平均値の定理、s∈[x,x+h])
→0+∫[a,x]{2(x-t)}f(t)dt（h→0）。
F'(x)=2∫[a,x](x-t)f(t)dt。

補足

ご回答ありがとうございます。
=(1/h)*h*(x+h-s)^2f(s)+∫[a,x]{((x+h-t)^2-(x-t)^2)/h}f(t)dt
(平均値の定理、s∈[x,x+h])
→0+∫[a,x]{2(x-t)}f(t)dt（h→0）。
F'(x)=2∫[a,x](x-t)f(t)dt。
の流れが理解出来ません。
どのような操作を行っているのですか？

回答No.1

Ae610

F(x) = ∫[a～x](x-t)^2f(t)dt
= x^2・∫[a～x]f(t)dt - 2x・∫[a～x]{tf(t)}dt + ∫[a～x]{t^2f(t)}dt

とほぐして、それでもってxで微分してみる・・・！