数IIIの積分の問題がわかりません！

質問

数IIIの積分の問題がわかりません！

関数f(x)は
f(x)=x＋2∫<π→0>sin(x－t)f(t)dt
を満たすとする。
このとき
A=2∫<π→0>f(t)costdt　 ,　 B= -2∫<π→0>f(t)sintdt
とおいてf(x)を求めよ。

上の問題の解き方がわかりません。
どうやって解けばいいのでしょうか？
教えてください。
積分初心者なので詳しく教えていただけたら助かります！
よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

f(x)=x+2∫<π→0>sin(x-t)f(t)dt
f(x)=x+2∫<π→0>(sinxcost-cosxsint)f(t)dt
f(x)=x+2sinx∫<π→0>f(t)costdt-2cosx∫<π→0>f(t)sintdt
f(x)=x+Asinx+Bcosx
A=2∫<π→0>f(t)costdt
A=2∫<π→0>(t+Asint+Bcost)costdt
A=2∫<π→0>tcostdt+2A∫<π→0>sintcostdt+2B∫<π→0>(cost)^2dt
A=2∫<π→0>tcostdt+A∫<π→0>sin2tdt+B∫<π→0>(1+cos2t)dt
A=2[tsint+cost]_<π→0>+A[(-cos2t)/2]_<π→0>+B[t+((sin2t)/2)]_<π→0>
A=4-Bπ
B=-2∫<π→0>f(t)sintdt
B=-2∫<π→0>(t+Asint+Bcost)sintdt
B=-2∫<π→0>tsintdt-2A∫<π→0>(sint)^2dt-2B∫<π→0>sintcostdt
B=-2∫<π→0>tsintdt-A∫<π→0>(1-cos2t)dt-B∫<π→0>sin2tdt
B=2[tcost-sint]_<π→0>-A[t-((sin2t)/2)]_<π→0>+B[(cos2t)/2]_<π→0>
B=(2+A)π
A=(4-2π^2)/(1+π^2)
B=6π/(1+π^2)
f(x)=x+[{(4-2π^2)sinx+6πcosx}/(1+π^2)]

お礼

計算過程を詳しくかつ丁寧に教えて下さってありがとうございます。
とてもわかりやすく理解しやすかったです！
本当にありがとうございました！

回答No.1

proto

インテグラルの中のsin(x-t)を加法定理で展開しましょう。

右辺の積分はtについての積分なので、tに依らない項、例えばsin(x)やcos(x)などは係数としてインテグラルの外に出せます。
　　∫{A*g(t)}dt = A*∫{g(t)}dt
を応用して
　　∫{sin(x)*g(t)}dt = sin(x)*∫{g(t)}dt

そうすると、
　　A = 2∫[π→0]{f(t)*cos(t)}dt
　　B = -2∫[π→0]{f(t)*sin(t)}dt
という置き換えの使いどころが見えてくるはずです。

また、上の置き換えをすることで言わんとしてるのは、
　　A = 2∫[π→0]{f(t)*cos(t)}dt
の右辺は一見複雑そうに見えますが、結局は定積分なので実はxに依らないただの定数だと言うことです。
複雑に見える項を定数らしくA,Bで置き換えることで、f(x)がどのような形の関数なのかが見えてくるはずです。

そこまできたら、
　　A = 2∫[π→0]{f(t)*cos(t)}dt
　　B = -2∫[π→0]{f(t)*sin(t)}dt
の積分を実際に計算しましょう。
計算結果からA,Bについての連立方程式が得られると思います。
それを解けばA,Bの具体的な値が分かりますから、そこからf(x)の具体的な形も分かります。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ございません。
どの公式を使うかなど分かりやすく教えて下さってありがとうございます！
助かりました！
本当にありがとうございました。