数学III積分の問題

質問

数学III積分の問題
問１
0≦x≦2分のπ　の範囲において、y=2sin2x とy=cosxに囲まれた部分の面積を求めよ。

問２
f(x)　は　g(t)dt　を　-x　から　x　まで積分したものである。

g(t)=　eのｔ乗＋１　分の　eのｔ乗＋eの－ｔ乗
のとき、ｆダッシュ(x) と　ｆ（ｘ）　を求めよ。

ただし、G(t) が g(t) の原始関数であるとき、f(x) = G(x)ーG(-x)になることを用いてよい。

式を言葉に示して非常にみにくいですが、数学IIIのわかるかた、どなたか解説お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

他の質問や回答をみて質問や式の書き方を覚えてください。
それに従って、問題文を書いてください。
回答者からすると問題文が見づらいです。

問１
0≦x≦π/2　の範囲において、y=2sin(2x) とy=cos(x)に囲まれた部分の面積Sを求めよ。

２つの曲線の交点のx座標は
　2sin(2x)-cos(x)=cos(x)(4sin(x)-1)=0
0≦x≦π/2より
∴x=sin^-1(1/4),π/2
S=∫[sin^-1(1/4),π/2] (2sin(2x)-cos(x))dx
=[-cos(2x)-sin(x)][sin^-1(1/4),π/2]
=cos(2sin^-1(1/4))+(1/4)
=(7/8)+(1/4)
=9/8

問2
f(x)=∫[-x,x] g(t)dt である。

g(t)={exp(t)+exp(-t)}/{exp(t)+1}
のとき、f'(x) と f(x)を求めよ。

ただし、G(t) が g(t) の原始関数であるとき、f(x) = G(x)-G(-x)になることを用いてよい。

e^x=exp(x)で表すと
f'(x)=G'(x)-(-1)G'(-x)=g(x)+g(-x)
={exp(x)+exp(-x)}/{exp(x)+1}+{exp(-x)+exp(x)}/{exp(-x)+1}
={exp(x)+exp(-x)}[{1/(exp(x)+1)}+{1/(exp(-x)+1)}]
={exp(x)+exp(-x)}{2+exp(x)+exp(-x)}/{(exp(x)+1)(exp(-x)+1)}
={exp(x)+exp(-x)}{2+exp(x)+exp(-x)}/{2+exp(x)+exp(-x)}
=exp(x)+exp(-x)　←f'(x)の答え
f(x)=exp(x)-exp(-x)+C（Cは積分定数）
f(0)=∫[-0,0] g(t)dt=0より
0=exp(0)-exp(0)+C=2+C ∴C=-2
∴f(x)=exp(x)-exp(-x)-2　←f(x)の答え