- ベストアンサー
数IIIの積分の証明問題を教えてください。
数IIIの積分の証明問題で理解できないところがあるので教えてください。 ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ ∫[a/2,a]f(x)dx＝∫[0,a/2]f(a-x)dx が成り立つことを証明したいのですが ∫[a/2,a]f(x)dxについてt＝a-xで置換すると結果が ∫[a/2,a]f(x)dx＝∫[0,a/2]f(a-t)dtとなってしまいます。 この場合、右辺の変数のtをxにして∫[0,a/2]f(a-x)dxとして証明終了にして大丈夫ですか？ そこがなかなか納得できなくて困っています、論理的に教えていただければ幸いです。
- OK WAVE（@Evil_Wind）
- お礼率29% (102/346)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 積分 証明 問題
積分 証明 問題 ∫[0～π]（x・sinx）dxを求めよ。 I=∫[0～π]（x・sinx）dxとおく。 x=π-tとおくと、dx/dt=-1、積分範囲はπ～0 I=∫[π～0]（π-t）・sin（π-t）（-dt） =∫[0～π]（π-t）・sin（π-t）dt =∫[0～π]（π-t）・(sint)dt 2I=∫[0～π]（x・sinx）dx+∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt =∫[0～π]πsinxdx =2π I=π 一点分からない点があります。 ∫[0～π]（π-t）・(sint)dt=∫[0～π]（π-x）・(sinx)dt について。単純にtをxに置き換えただけだと思いますが、 x=π-tと置換しているのに、t=xと同じ変数を使って再度 置換して良いのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数IIIの積分の問題がわかりません！
数IIIの積分の問題がわかりません！ 関数f(x)は f(x)=x＋2∫<π→0>sin(x－t)f(t)dt を満たすとする。 このとき A=2∫<π→0>f(t)costdt , B= -2∫<π→0>f(t)sintdt とおいてf(x)を求めよ。 上の問題の解き方がわかりません。 どうやって解けばいいのでしょうか？ 教えてください。 積分初心者なので詳しく教えていただけたら助かります！ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数III 定積分の問題
以下の定積分の問題が上手く問けません。 ∫{0→π/2}√(1＋sinx)dx というものなのですが、 1＋sinx=tとおいて置換積分をすると dx=dt/cosx となって、tとxが一緒に出てきてしまいってどうしたら良いか分からず、sinx=tとおいても同じような結果になってしまいました。 π/2－x=tとおいてもsinがcosに入れ替わっただけになってしまい、煮詰まってしまいました。 ヒントや考え方の指針でも良いので教えて頂けると嬉しいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「高校数学」置換積分法の公式について
x=g(t)のときの置換積分法の公式∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt についてなんですが、 dx/dt=g'(t)だから dx=g'(t)dtよりこれを左辺のdxに代入して 機械的に右辺の式になると考えるのは間違いでしょうか？ 教科書では y=（左辺）として dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=f(g(t))g'(t)だから両辺tで積分して 右辺を作ってましたが・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分 証明 問題
積分 証明 問題 （1）∫[0~π]（x・sinx）dxをx=π-tとおいて求めなさい。 （2）ｆ（ｘ）が区間[-1,1]で連続であるとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。 ∫[0~π]x・f（sinx)dx =π/2∫[0~π]f（sinx）dx （1）はπと求めることが出来ました。 （2）も（1）と同様に置換して証明できました。 問題にある「ｆ（ｘ）が区間[-1,1]で連続であるとき」に関しては 特に何も考えなかったのですが「ｆ（ｘ）が区間[-1,1]で連続であるとき」 とは何を言いたいのでしょうか？sinxの周期は-1から1なので、 単純にｆ（x）が連続のときと解釈してよいですか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分・積分 問題
微分・積分 問題 d^2/dx^2（∫[0→x]（x-t）ｆ（t）dt）=ｆ（x）を証明せよ。 x・∫[0→x]ｆ（t）dt－∫[0→x]t・ｆ（t）dtとしました。 上の式を積分して、2回微分しようと考えているのですが、 ∫[0→x]t・ｆ（t）dtが分かりません。 d/dx（x・∫[0→x]ｆ（t）dt)－d/dx（∫[0→x]t・ｆ（t）dt）と１回微分して、さらにもう一度微分を行うと、d/dx（∫[0→x]ｆ（t）dt+xf(x)-xf(x)) よって、d/dx（∫[0→x]ｆ（t）dt=f(x) 解き方は合っているでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 青チャートIIIの例題216について
f(x)は連続な関数、aは正の定数とする。 (1) 等式∫[0,a] f(x)dx = ∫[0,a] f(a-x)dxを証明せよ。 (2) (1)を用いて、定積分∫[0,a] {e^x / (e^x + e^(a-x)) } dxを求めよ。 とありました。手がつきませんでした。 解説をみてとりあえず1は置換積分をして積分変数をf(t)dtを定積分だからf(x)dxに変えて一致する。という説明で何となく納得できました。 でも定積分だからfのカッコ内の値がいくつでもいいという具体例のようなものを実際にお教えいただければ幸いです。『とりあえず書き換えちゃっていいよ』的なノリでしか理解していないので本質がまったくわかっていません。 また、2の解説では1の関係と f(x)+f(a-x)=1を使う。 とありました。 確かに足し算すれば1になったのですが変数を足してみたらたまたま1になったからこの等式を利用して積分を行っているということなのでしょうか？ あるいは、関数の連続性という性質から何がなんでも基本的に f(x)-f(a-x)=1 という定義なのでしょうか？ さっぱりわからなかっただけに解説が意図していることがわからず悩んでいます。 解答解説の上記2点が意味がわかっていないので答えというよりも上記の考え方をご指導いただければ幸いです。 また、この 置換積分を利用した定積分の等式の証明 におけるわかりやすい解説動画やサイトなどがあれば初学者でも見れるようなものだと大変助かるのでお教えいただければ幸いです。 長くなりましたが理解したいのでいつでもよろしいのでご指導お願いできれば幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ここにまとめてお礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。