「高校数学」置換積分法の公式について

質問

x=g(t)のときの置換積分法の公式∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt
についてなんですが、
dx/dt=g'(t)だから
dx=g'(t)dtよりこれを左辺のdxに代入して
機械的に右辺の式になると考えるのは間違いでしょうか？
教科書では
y=（左辺）として
dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=f(g(t))g'(t)だから両辺tで積分して
右辺を作ってましたが・・・

回答No.1

noname#182764 · ベストアンサー

微分形式を用いた形ですね。
それでも良いと思います。
参考URLです。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/chikansekibun.html

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

確かに微分形式を使えば
「約分」できるが・・・

(1)微分形式とは何？どういう定義？
(2)微分形式に関数をかける（f(x)dx）ってどういう定義？
(3)その微分形式を積分するってどういう定義？

こういう問題があるし，これを数学的にきっちり処理するのは
実はそれほど易しい問題ではない
物理とか工学の人は，かなり乱暴に
「二次の項を無視して」とかいうけど，
それでは数学ではないのです．

ということで，「高校数学」では
教科書のように「証明」して
機械的な計算の正当性は
その「証明」で担保すると考えるほうが無難です．
実際，積分の計算とかで必要な「dxとかの約分」は
置換積分で正当化できます．

お礼

ありがとうございます